100 bài tập nguyên hàm mới nhất

9:28 12/01/2024

Để ôn thi tốt các dạng bài tập nguyên hàm tích phân là 1 phần quan trọng chiếm nhiều điểm trong phần ôn thi vì vậy để đạt kết quả cao cần luyện tập giải bài tập nhiều các dạng bài tập nguyên hàm và tích phân. Trong bài viết dưới đây, BTEC FPT đã tổng hợp lại các dạng bài tập nguyên hàm và file 100 bài tập trắc nghiệm nguyên hàm cho các bạn học sinh ôn luyện. 

Các dạng bài tập nguyên hàm
Các dạng bài tập nguyên hàm

Dạng 1: Tìm nguyên hàm của hàm số bằng định nghĩa và tính chất

Đối với dạng bài tập này học sinh cần áp dụng các định nghĩa và tính chất sau: 

  • Định nghĩa: Cho hàm số f(x) xác định trên K (K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng). Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F'(x) = f(x) với mọi x ∈ K.
  • Tính chất: 
  • Tính chất 1: (∫f(x)dx)' = f(x) và ∫f'(x)dx = f(x) + C
  • Tính chất 2: ∫kf(x)dx = k∫f(x)dx với k là hằng số khác 0.
  • Tính chất 3: ∫[f(x) ± g(x)]dx = ∫f(x)dx ± ∫g(x)dx

👉 Xem thêm: Đề thi THPT Quốc Gia 2024 Môn Toán mới nhất
👉 Xem thêm: Bộ 20 đề thi thử THPT quốc gia 2024 môn toán (Có Lời Giải)
👉 Xem thêm: Tài liệu ôn thi THPT quốc gia 2024 môn toán
👉 Xem thêm: Bộ đề thi tham khảo THPT quốc gia 2024 môn toán
👉 Xem thêm: Cấu trúc đề thi thpt quốc gia môn toán 2024
👉 Xem thêm: Tổng hợp công thức toán thi thpt quốc gia mới nhất  

Dạng 2: Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số 

Phương pháp này dựa trên việc biến đổi biến số x thành một biến số mới t bằng một hàm số u(x). Sau đó, ta có thể tính tích phân f(x)dx bằng cách tính tích phân f(u(t))dt.

Các bước thực hiện phương pháp đổi biến số như sau:

  • Đặt t = u(x)
  • Tính vi phân dt = u'(x)dx
  • Biểu thị f(x) theo t và dt
  • Tính tích phân: ∫f(x)dx = ∫f(u(t))u'(t)dt

Một số lưu ý khi sử dụng phương pháp đổi biến số:

  • Phương pháp này chỉ áp dụng được cho các hàm số f(x) có thể được biểu thị theo t và dt.
  • Nếu hàm số f(x) không thể được biểu thị theo t và dt, thì phương pháp này không áp dụng được.

Dưới đây là một số công thức đổi biến số thường gặp:

  • Nếu t = ax + b, thì dt = adx.
  • Nếu t = e^x, thì dt = e^x dx.
  • Nếu t = sin(x), thì dt = cos(x) dx.
  • Nếu t = cos(x), thì dt = -sin(x) dx.

Dạng 3: Tìm nguyên hàm từng phần 

Đề bài: Cho hai hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm liên tục trên K

Dạng này cần áp dụng công thức nguyên hàm từng phần: ∫udv = uv−∫vdu.

Để tính nguyên hàm từng phần, ta thực hiện theo các bước sau:

  • Lựa chọn hàm u và dv theo quy tắc đặt u.
  • Tính nguyên hàm ∫udv.
  • Tính nguyên hàm ∫vdu.
  • Cộng hai nguyên hàm vừa tính được.

Chú ý: Phương pháp nguyên hàm từng phần được sử dụng nếu đề bài có dạng I=∫f(x).g(x)dx, trong đó f(x) và g(x) là 2 trong 4 hàm số: Hàm số logarit, hàm số đa thức, hàm số lượng giác hoặc hàm số mũ. 

Dạng 4: Tìm nguyên hàm của hàm số hữu tỉ 

Các phương pháp tìm nguyên hàm của hàm số hữu tỉ:

  • Phương pháp chia đa thức: 
  • Phương pháp này được áp dụng khi hàm số cần lấy nguyên hàm có bậc của tử số nhỏ hơn bậc của mẫu số. 
  • Phương pháp này chỉ áp dụng được cho các hàm số hữu tỉ có dạng P(x)/Q(x).
  • Trong trường hợp bậc của tử số P(x) bằng bậc của mẫu số Q(x), thì hàm số hữu tỉ ban đầu có thể tính được bằng cách sử dụng các nguyên hàm cơ bản.
  • Phương pháp đồng nhất thức: 

Giả sử hàm số có dạng f(x) = P(x)/Q(x). Trong đó: Q(x) = (x+m)(x+n)

Ta đưa P(x) = ux+v về dạng P(x) = a(x+m)+b(x+n) 

Từ đó suy ra f(x) = a/x+n + b/x+m. 

  • Phương pháp đưa về dạng lượng giác: 

Đối với những hàm số hữu tỉ không thể áp dụng theo hai phương pháp trên, có thể đưa dạng đó về dạng lượng giác, sau đó áp dụng công thức tính nguyên hàm để tìm nguyên hàm của hàm số hữu tỉ đó.  

Dạng 5: Tìm nguyên hàm thỏa mãn điều kiện cho trước 

Để tìm nguyên hàm thỏa mãn điều kiện cho trước cần thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) bằng các phương pháp đã biết: sử dụng bảng nguyên hàm, phương pháp đổi biến số, phương pháp từng phần,...

Bước 2: Dựa vào yêu cầu của bài toán tìm ra hằng số C tương ứng.

Lưu ý:

  • Nếu bài toán cho nhiều điều kiện cho trước, ta cần giải hệ phương trình để tìm ra hằng số C.
  • Nếu hàm số f(x) có nhiều nguyên hàm, ta cần tìm nguyên hàm thỏa mãn điều kiện cho trước. 

👉 Xem thêm: 100 bài tập đạo hàm
👉 Xem thêm: 100 bài tập lũy thừa lớp 12
👉 Xem thêm: 100 bài tập hàm số mũ và logarit
👉 Xem thêm: 100 bài tập tích phân
👉 Xem thêm: 100 bài tập số phức
👉 Xem thêm: 100 bài tập khối đa diện
👉 Xem thêm: 100 bài tập hình học không gian 11
👉 Xem thêm: 100 bài tập xác suất lớp 11
👉 Xem thêm: 100 bài tập cấp số nhân
👉 Xem thêm: 100 bài tập cấp số cộng 

Banner TNNN2 1

Ví dụ bài tập nguyên hàm

Sau khi nắm vững kiến thức về các dạng bài tập nguyên hàm, các bạn học sinh có thể tham khảo các ví dụ dưới đây:

Ví dụ 1: Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) với

Họ các nguyên hàm của hàm số f(x) = 5x4-6x2+1

Bài tập tìm một nguyên hàm f(x) của hàm số f(x)
Bài tập tìm một nguyên hàm f(x) của hàm số f(x)

Hướng dẫn giải: 

Ta có: 

(5x4-6x2 +1)dx = x5-2x3+x+C  

Ví dụ 2: Khẳng định nào sau đây sai?

Bài tập nguyên hàm
Bài tập nguyên hàm

Hướng dẫn giải: 

Ta có: 

(1x)dx = lnx+C => C sai

Ví dụ 3: Nguyên hàm của hàm số  y = x2-3x+ 13 là: 

Bài tập nguyên hàm của hàm số
Bài tập nguyên hàm của hàm số

Hướng dẫn giải: 

Áp dụng công thức nguyên hàm ta có 

(x2-3x +1x)dx = x33-3x22+ lnx+C  

Tham khảo thêm 100 bài tập nguyên hàm và tích phân tại: 

Ví dụ bài tập nguyên hàm với BTEC FPT
Ví dụ bài tập nguyên hàm với BTEC FPT

Bài viết trên tổng hợp 100 bài tập nguyên hàm có đáp án và lời giải chi tiết. Hy vọng bộ tài liệu này sẽ giúp ích cho các bạn trong quá trình ôn thi THPT Quốc Gia. BTEC FPT chúc bạn đạt kết quả cao trong kỳ thi sắp tới!

 

Tags:

Có thể bạn chưa đọc

  • Đặt câu hỏi tư vấn
  • BTEC FPT sẽ trực tiếp liên hệ lại với bạn trong vòng 48h để giải đáp cụ thể mọi thắc mắc về vấn đề tuyển sinh và học tập của bạn