100 bài tập cấp số nhân mới nhất

Cấp số cộng và cấp số nhân là chuyên đề thường xuyên xuất hiện trong đề thi THPT Quốc Gia hàng năm. Vì vậy việc luyện tập giải các bài tập về cấp số nhân và cấp số cộng là vô cùng quan trọng. Trong bài viết dưới đây, BTEC FPT đã tổng hợp lại các dạng bài tập cấp số nhân trọng tâm cho các bạn học sinh ôn tập. 

Các dạng bài tập cấp số nhân

Các dạng bài tập cấp số nhân

Dạng 1: Xác định cấp số nhân

Phương pháp giải: 

Bước 1: Xác định số hạng đầu (u1) và công bội (q) của cấp số nhân

Phương pháp 1: Áp dụng công thức định nghĩa cấp số nhân: U_n= U₁.q^n-1 (n>=2)

Trong đó:

• U_n là số hạng thứ n của cấp số nhân
• U₁ là số hạng đầu của cấp số nhân
• q là công bội của cấp số nhân

Phương pháp 2: Xét tính chất của cấp số nhân:

Cấp số nhân có một số tính chất cơ bản sau:

• Số hạng thứ 2 bằng tích của số hạng đầu và công bội.
• Số hạng thứ n bằng tích của số hạng thứ (n - 1) và công bội.

Bước 2: Kiểm tra tính đồng nhất của cấp số nhân

• Nếu hai số hạng liên tiếp của cấp số nhân đều nhân với nhau bằng công bội, thì đó là cấp số nhân và ngược lại.

👉 Xem thêm: Đề thi THPT Quốc Gia 2024 Môn Toán mới nhất
👉 Xem thêm: Bộ 20 đề thi thử THPT quốc gia 2024 môn toán (Có Lời Giải)
👉 Xem thêm: Tài liệu ôn thi THPT quốc gia 2024 môn toán
👉 Xem thêm: Bộ đề thi tham khảo THPT quốc gia 2024 môn toán
👉 Xem thêm: Cấu trúc đề thi thpt quốc gia môn toán 2024
👉 Xem thêm: Tổng hợp công thức toán thi thpt quốc gia mới nhất  

Dạng 2: Tìm công thức của cấp số nhân

Phương pháp giải: 

Bước 1: Xác định số hạng đầu (u1) và công bội (q) của cấp số nhân theo định nghĩa hoặc tính chất 

Bước 2: Lập công thức tổng quát

Công thức tổng quát của cấp số nhân như sau: U_n=U₁.q_n-1 (n>=2) 

Trong đó:

• U_n là số hạng thứ n của cấp số nhân
• U₁ là số hạng đầu của cấp số nhân
• q là công bội của cấp số nhân

Thay các giá trị của U₁ và q vào công thức tổng quát để tìm công thức của cấp số nhân.

Dạng 3. Tìm điều kiện để dãy số lập thành cấp số nhân. Chứng minh cấp số nhân.

Điều kiện: 

Định nghĩa: Dãy số (U_n) là cấp số nhân với công bội q nếu U_n+1=U_n.q với mọi n ≥ 1.

Điều kiện cần: Nếu (Un) là cấp số nhân thì Un+1=Un.q với mọi n ≥ 1.

Điều kiện đủ: Nếu U_n+1=U_n.q với mọi n ≥ 1 thì (U_n) là cấp số nhân.

Chứng minh:

Cách 1. Chứng minh ∀n ≥ 1;  U_n+1=U_n.q trong đó q là một số không đổi.

Cách 2. Nếu U_n ≠ 0 với mọi n thì ta lập tỉ số: T = U_n+1/U_n

T là hằng số thì (U_n) là cấp số nhân có công bội q = T.

T phụ thuộc vào n thì (U_n) không là cấp số nhân.

Đăng ký nhận học bổng ngay

• Họ và tên*
• Số điện thoại*
• Năm sinh*
• Cở sở*
  Chọn cở sở*Hà NộiHồ Chí MinhĐà NẵngCần Thơ
• Ngành học
  Chọn ngành họcKỹ thuật phần mềmQuản trị kinh doanhMarketingLogistics - Mua sắm và quản lý cung ứngThiết kế đồ hoạCông nghệ bán dẫnThể thao điện tử Esport ( dự kiến )Chưa xác định ngành học
• Đồng ý để dữ liệu cá nhân của Anh/Chị được thu thập trên trang này, được xử lý và lưu trữ bởi FPT BTEC - Trường Cao đẳng FPT Polytechnic (đơn vị thành viên của Công ty TNHH Giáo dục FPT hay còn gọi là Tổ chức giáo dục FPT) cho mục đích và theo điều kiện đã được công bộ tại Quy định bảo vệ dữ liệu cá nhân của Tổ chức giáo dục FPT tại đây.*
  Đồng ý để dữ liệu cá nhân của Anh/Chị được thu thập trên trang này, được xử lý và lưu trữ bởi FPT BTEC - Trường Cao đẳng FPT Polytechnic (đơn vị thành viên của Công ty TNHH Giáo dục FPT hay còn gọi là Tổ chức giáo dục FPT) cho mục đích và theo điều kiện đã được công bộ tại Quy định bảo vệ dữ liệu cá nhân của Tổ chức giáo dục FPT tại đây.
  • Đồng ý
• Untitled
• Untitled
  • First Choice
  • Second Choice
  • Third Choice

Dạng 4: Tìm hạng tử trong cấp số nhân

Phương pháp giải: 

Bước 1: Xác định số hạng đầu (U₁) và công bội (q) của cấp số nhân theo định nghĩa hoặc tính chất. 

Bước 2: Tìm công thức của cấp số nhân

Công thức tổng quát của cấp số nhân như sau: U_n=U₁.q^n-1 (n>=2) 

Trong đó:

• U_n là số hạng thứ n của cấp số nhân
• U₁ là số hạng đầu của cấp số nhân
• q là công bội của cấp số nhân

Thay các giá trị của U₁ và q vào công thức tổng quát để tìm công thức của cấp số nhân.

Bước 3: Tính hạng tử của cấp số nhân

• Hạng tử của cấp số nhân là giá trị của số hạng n của cấp số nhân.
• Ta thay n bằng giá trị của hạng tử vào công thức của cấp số nhân để tìm hạng tử của cấp số nhân.

Dạng 5: Tính tổng của cấp số nhân

Phương pháp giải: 

Bước 1: Xác định số hạng đầu (u1) và công bội (q) của cấp số nhân theo định nghĩa hoặc tính chất 

Bước 2: Xác định số số hạng (n) của cấp số nhân

Bước 3: Áp dụng công thức tính tổng của cấp số nhân

Công thức tính tổng của cấp số nhân như sau: S_n=(U_1.(qⁿ-1))/(q-1), q1

Trong đó:

S_n là tổng của cấp số nhân

U₁ là số hạng đầu của cấp số nhân

q là công bội của cấp số nhân

👉 Xem thêm: 100 bài tập đạo hàm
👉 Xem thêm: 100 bài tập lũy thừa lớp 12
👉 Xem thêm: 100 bài tập hàm số mũ và logarit
👉 Xem thêm: 100 bài tập nguyên hàm
👉 Xem thêm: 100 bài tập tích phân
👉 Xem thêm: 100 bài tập số phức
👉 Xem thêm: 100 bài tập khối đa diện
👉 Xem thêm: 100 bài tập hình học không gian 11
👉 Xem thêm: 100 bài tập xác suất lớp 11
👉 Xem thêm: 100 bài tập cấp số cộng 

Dạng 6: Bài toán thực tế

Phương pháp giải: 

Bước 1: Xác định dạng toán

Ta cần xác định xem bài toán thuộc dạng toán nào trong các dạng toán sau:

• Tính tổng các số hạng của cấp số nhân
• Tính tổng các số hạng lẻ của cấp số nhân
• Tính tổng các số hạng chẵn của cấp số nhân
• Tính tổng các số hạng có giá trị lớn hơn hoặc bằng một số cho trước của cấp số nhân
• Tính tổng các số hạng có giá trị nhỏ hơn hoặc bằng một số cho trước của cấp số nhân

Bước 2: Mô hình hóa bài toán

Ta cần mô hình hóa bài toán thực tế thành một bài toán cấp số nhân. Để làm được điều này, ta cần xác định các yếu tố sau:

• Số hạng đầu (u1) của cấp số nhân
• Công sai (d) của cấp số nhân
• Số số hạng (n) của cấp số nhân

Bước 3: Giải bài toán cấp số nhân

Ta sử dụng các công thức và tính chất của cấp số nhân để giải bài toán cấp số nhân đã mô hình hóa ở bước 2.

Ví dụ bài tập cấp số nhân

Ví dụ 1: Cho cấp số nhân có số hạng thứ 4 là 8 và số hạng thứ 7 là 256. Hãy xác định số hạng đầu và công bội của cấp số nhân đó.

Hướng dẫn giải: 

Theo công thức định nghĩa, ta có:

U₄=U₁.q³=8

U₇=U₁.q⁶=256

Từ hai phương trình trên, ta được hệ phương trình sau:

U₁.q³=8

U₁.q⁶=256

Giải hệ phương trình trên, ta được:

U₁ = 2

q = 2

Vậy, cấp số nhân đó có số hạng đầu là 2 và công bội là 2.

Ví dụ 2: Cho cấp số nhân có tổng của ba số hạng đầu là 24 và tổng của hai số hạng cuối là 512. Hãy xác định số hạng đầu và công bội của cấp số nhân đó.

Hướng dẫn giải: 

Theo công thức định nghĩa, ta có:

U₂=U₁.q=24

U₆=U₁.q⁵=512

Giải hệ phương trình trên, ta được:

U₁ = 2

q = 4

Vậy, cấp số nhân đó có số hạng đầu là 2 và công bội là 4.

Ví dụ 3: Cho cấp số nhân có số hạng đầu là 2 và công bội là 3. Hãy tìm công thức của cấp số nhân đó.

Ta có:

U₁ = 2

q = 3

Thay vào công thức ta được:

U_n=U₁.q^(n-1)

U_n=2.3^n-1

Vậy, công thức cấp số nhân đó là:

U_n=2.3^n-1

Ví dụ 4: Cho cấp số nhân có số hạng đầu là 2 và công bội là 3. Hãy tìm hạng tử thứ 5 của cấp số nhân đó.

Ta có:

U₁ = 2

q = 3

Thay vào công thức, ta được: 

U_n=U₁.q^(n-1)

U₅ = 72

Vậy, hạng tử thứ 5 của cấp số nhân đó là 72.

Ví dụ 5: Một người đi xe đạp từ nhà đến trường. Mỗi ngày, người đó đi thêm 2 km so với ngày hôm trước. Biết rằng sau 10 ngày, người đó đi được 30 km. Tính tổng quãng đường mà người đó đi được trong 20 ngày.

Bước 1: Xác định dạng toán

Đây là bài toán tính tổng các số hạng của cấp số nhân.

Bước 2: Mô hình hóa bài toán

Ta có:

• Số hạng đầu (u1) của cấp số nhân là 2 km
• Công sai (d) của cấp số nhân là 2 km
• Số số hạng (n) của cấp số nhân là 10 ngày

Bước 3: Giải bài toán cấp số nhân

S_n=(U₁(qⁿ-1)) / (q-1)

S10 = 512

Vậy, tổng quãng đường mà người đó đi được trong 10 ngày là 512 km.

Tham khảo danh sách 100 bài tập cấp số cộng và cấp số nhân tại: 

cac-dang-toan-day-so-cap-so-cong-va-cap-so-nhan-toan-11-canh-dieu.pdf

chuyen-de-day-so-cap-so-cong-va-cap-so-nhan-toan-11-knttvcs (1).pdf

chuyen-de-day-so-cap-so-cong-va-cap-so-nhan-toan-11-knttvcs.pdf

huong-dan-giai-cac-dang-toan-day-so-cap-so-cong-va-cap-so-nhan.pdf

tai-lieu-chu-de-cap-so-cong.pdf

Ví dụ bài tập cấp số nhân với btec fpt

Trên đây là 6 dạng bài tập trọng tâm trong chuyên đề cấp số nhân kèm danh sách bài tập tham khảo được chúng mình tổng hợp lại. Hy vọng đây sẽ là bộ tài liệu hữu ích giúp các bạn học sinh đạt điểm cao trong kỳ thi sắp tới.