100 bài tập hàm số mũ và logarit mới nhất

Tổng quan chuyên đề hàm số mũ và logarit trong chương trình Toán THPT

Hàm số mũ và logarit là chuyên đề quan trọng trong chương trình Toán THPT, tập trung vào tính chất của lũy thừa, logarit, hàm số mũ, hàm số logarit và phương pháp giải phương trình, bất phương trình liên quan.

Theo chương trình giáo dục phổ thông hiện hành, nội dung này được học ở lớp 11. Tuy nhiên, học sinh lớp 12 vẫn cần nắm chắc kiến thức để vận dụng trong quá trình ôn tập và giải những bài toán tổng hợp.

Các nội dung trọng tâm bao gồm:

• Tính chất của lũy thừa và logarit.
• Tập xác định của hàm số mũ, logarit.
• Tính đơn điệu và đạo hàm của hàm số.
• Phương trình và bất phương trình mũ, logarit.
• Bài toán chứa tham số.
• Ứng dụng trong các bài toán lãi kép, tăng trưởng và phân rã.

Để học tốt chuyên đề này, học sinh cần đặc biệt chú ý điều kiện xác định của biểu thức và tính chất đồng biến, nghịch biến của các hàm số.

Phân loại các dạng bài tập mũ và logarit thường gặp

Các bài tập hàm số mũ và logarit có thể chia thành những nhóm chính từ cơ bản đến nâng cao.

Học sinh nên luyện tập từng nhóm bài theo thứ tự từ dễ đến khó, đồng thời ghi nhớ những lỗi thường gặp trong quá trình biến đổi.

Tổng hợp bài tập hàm số mũ và logarit có lời giải chi tiết

Dưới đây là những bài tập tiêu biểu giúp học sinh vận dụng kiến thức vào các dạng toán thường gặp.

Tìm tập xác định và tính đạo hàm hàm số mũ, logarit

Bài tập: Tìm tập xác định của hàm số

y = log₂(x² - 3x + 2)

Lời giải

Điều kiện xác định của hàm số logarit là biểu thức bên trong logarit phải lớn hơn 0.

Ta có:

x² - 3x + 2 > 0

Phân tích thành nhân tử:

(x - 1)(x - 2) > 0

Tích hai thừa số dương khi:

x < 1 hoặc x > 2

Kết luận: Tập xác định là:

D = (-∞; 1) ∪ (2; +∞)

Bài tập: Tính đạo hàm của hàm số

y = (x² + 1)e^(2x)

Lời giải

Áp dụng quy tắc đạo hàm của tích:

(uv)' = u'v + uv'

Đặt:

u = x² + 1

v = e^(2x)

Ta có:

u' = 2x

v' = 2e^(2x)

Suy ra:

y' = 2x × e^(2x) + (x² + 1) × 2e^(2x)

Đặt nhân tử chung:

y' = 2e^(2x) × (x + x² + 1)

Kết luận:

y' = 2(x² + x + 1)e^(2x)

Giải phương trình và bất phương trình mũ, logarit cơ bản

Bài tập: Giải phương trình

4^x - 3 × 2^x + 2 = 0

Lời giải

Nhận thấy:

4^x = (2^x)²

Phương trình trở thành:

(2^x)² - 3 × 2^x + 2 = 0

Đặt:

t = 2^x, điều kiện t > 0.

Ta được phương trình:

t² - 3t + 2 = 0

Phân tích thành nhân tử:

(t - 1)(t - 2) = 0

Suy ra:

t = 1 hoặc t = 2

Cả hai giá trị đều thỏa mãn t > 0.

Thay lại:

• Với t = 1: 2^x = 1, suy ra x = 0.
• Với t = 2: 2^x = 2, suy ra x = 1.

Kết luận: Phương trình có hai nghiệm x = 0 và x = 1.

Tập nghiệm:

S = {0; 1}

Bài tập: Giải bất phương trình

log₃(2x - 1) ≤ 2

Lời giải

Điều kiện xác định:

2x - 1 > 0

Suy ra:

x > 1/2

Vì cơ số 3 > 1 nên hàm số logarit cơ số 3 đồng biến.

Do đó:

log₃(2x - 1) ≤ 2

Tương đương:

2x - 1 ≤ 3²

2x - 1 ≤ 9

2x ≤ 10

x ≤ 5

Kết hợp điều kiện xác định:

1/2 < x ≤ 5

Kết luận: Tập nghiệm là:

S = (1/2; 5]

Phương trình mũ và logarit chứa tham số

Bài tập: Tìm các giá trị của tham số m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt

9^x - m × 3^x + m + 3 = 0

Lời giải

Đặt:

t = 3^x

Điều kiện:

t > 0

Vì 9^x = (3^x)² nên phương trình trở thành:

t² - mt + m + 3 = 0

Để phương trình ban đầu có hai nghiệm x phân biệt, phương trình bậc hai theo t phải có hai nghiệm dương phân biệt.

Áp dụng định lý Viète, cần đồng thời thỏa mãn ba điều kiện:

• Biệt thức Δ > 0.
• Tổng hai nghiệm t₁ + t₂ > 0.
• Tích hai nghiệm t₁ × t₂ > 0.

Xét điều kiện biệt thức:

Δ = m² - 4(m + 3)

Δ = m² - 4m - 12

Điều kiện:

m² - 4m - 12 > 0

Phân tích thành nhân tử:

(m - 6)(m + 2) > 0

Suy ra:

m < -2 hoặc m > 6

Xét tổng hai nghiệm:

t₁ + t₂ = m

Để tổng hai nghiệm dương:

m > 0

Xét tích hai nghiệm:

t₁ × t₂ = m + 3

Điều kiện:

m + 3 > 0

Suy ra:

m > -3

Kết hợp ba điều kiện:

• m < -2 hoặc m > 6.
• m > 0.
• m > -3.

Ta được:

m > 6

Kết luận: Giá trị tham số cần tìm là m > 6.

Bài tập ứng dụng hàm số mũ và logarit vào thực tế

Bài tập: Tính thời gian gửi tiết kiệm theo lãi kép

Một người gửi 100 triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất cố định 6,5% mỗi năm, theo hình thức lãi kép hằng năm.

Giả sử người đó không gửi thêm, không rút tiền và lãi suất không thay đổi.

Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm số tiền cả gốc lẫn lãi vượt quá 200 triệu đồng?

Lời giải

Áp dụng công thức lãi kép:

S = A(1 + r)^n

Trong đó:

• A: Số tiền ban đầu.
• r: Lãi suất mỗi kỳ.
• n: Số kỳ tính lãi.
• S: Tổng số tiền sau n kỳ.

Thay các giá trị:

A = 100 triệu đồng

r = 6,5% = 0,065

Điều kiện cần tìm:

S > 200 triệu đồng

Ta có:

100 × (1,065)^n > 200

Chia hai vế cho 100:

(1,065)^n > 2

Lấy logarit hai vế:

n × ln(1,065) > ln(2)

Vì ln(1,065) > 0 nên:

n > ln(2) / ln(1,065)

Tính được:

n > 11,006

Vì tiền lãi được nhập gốc theo từng năm và n là số nguyên dương, thời gian nhỏ nhất thỏa mãn là:

n = 12

Kết luận: Người gửi cần ít nhất 12 năm để số tiền vượt quá 200 triệu đồng theo giả thiết bài toán.

Bộ câu hỏi trắc nghiệm hàm số mũ và logarit có đáp án

Câu 1: Nghiệm của phương trình log₂(x - 5) = 4 là gì?

A. x = 21

B. x = 13

C. x = 11

D. x = 20

Đáp án: A.

Giải thích:

Điều kiện x > 5.

x - 5 = 2⁴ = 16

Suy ra x = 21.

Câu 2: Tập xác định của hàm số y = (x - 2)^(-3) là gì?

A. Tập số thực R.

B. (2; +∞).

C. R trừ {2}.

D. (-∞; 2).

Đáp án: C.

Giải thích:

Ta có:

y = 1 / (x - 2)³

Mẫu số phải khác 0 nên:

x - 2 ≠ 0

Suy ra x ≠ 2.

Câu 3: Đạo hàm của hàm số y = 3^x là gì?

A. y' = 3^x × ln(3)

B. y' = 3^x / ln(3)

C. y' = x × 3^(x - 1)

D. y' = 3^x

Đáp án: A.

Giải thích:

Áp dụng công thức:

(a^x)' = a^x × ln(a)

Với a = 3:

y' = 3^x × ln(3)

Câu 4: Tập nghiệm của bất phương trình 2^(x + 1) > 8 là gì?

A. (2; +∞)

B. (-∞; 2)

C. (3; +∞)

D. (1; +∞)

Đáp án: A.

Giải thích:

8 = 2³

Suy ra:

2^(x + 1) > 2³

Vì cơ số 2 > 1:

x + 1 > 3

x > 2

Câu 5: Cho a > 0 và a ≠ 1. Giá trị của biểu thức P = logₐ(a³ × √a) là bao nhiêu?

A. 7/2

B. 5/2

C. 3

D. 6

Đáp án: A.

Giải thích:

√a = a^(1/2)

Do đó:

a³ × √a = a^(7/2)

Suy ra:

P = logₐ[a^(7/2)] = 7/2

Xem thêm: 100 bài tập đạo hàm
Xem thêm: 100 bài tập lũy thừa lớp 12
Xem thêm: 100 bài tập nguyên hàm
Xem thêm: 100 bài tập tích phân
Xem thêm: 100 bài tập số phức
Xem thêm: 100 bài tập khối đa diện
Xem thêm: 100 bài tập hình học không gian 11
Xem thêm: 100 bài tập xác suất lớp 11
Xem thêm: 100 bài tập cấp số nhân
Xem thêm: 100 bài tập cấp số cộng

Danh sách bài tập hàm số mũ và logarit

Sau khi ôn tập các dạng bài tập trên các bạn có thể luyện tập giải các bài tập hàm số mũ và logarit dưới đây: 

Tham khảo thêm bài tập hàm số mũ và logarit tại:

1. PT mũ _ lôgarit.pdf
2. 6364600116276246361BWE28x4kKg.pdf
3. bai-tap-ham-so-luy-thua-ham-so-mu-va-ham-so-logarit-diep-tuan.pdf
4. nam-tron-chuyen-de-mu-logarit-va-tich-phan.pdf

Phương pháp làm bài tập hàm số mũ và logarit hiệu quả

Để giải tốt các dạng bài tập mũ và logarit, học sinh nên áp dụng những phương pháp sau:

Xác định điều kiện trước khi biến đổi

Với biểu thức logₐ[f(x)], cần bảo đảm:

• a > 0 và a ≠ 1.
• f(x) > 0.

Với biểu thức a^x khi x là số thực bất kỳ, cơ số a phải dương. Hàm số mũ theo định nghĩa thông thường có thêm điều kiện a ≠ 1.

Đối với lũy thừa có cơ số chứa biến, điều kiện xác định còn phụ thuộc vào loại số mũ. Không nên mặc định mọi biểu thức lũy thừa đều yêu cầu cơ số dương.

Đưa phương trình về cùng cơ số

Khi hai vế có cùng cơ số a > 0, a ≠ 1, ta có:

a^[f(x)] = a^[g(x)]

Tương đương:

f(x) = g(x)

Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ

Với phương trình chứa đồng thời a^(2x) và a^x, có thể đặt:

t = a^x

Điều kiện:

t > 0

Sau đó chuyển phương trình về dạng đại số quen thuộc.

Chú ý chiều bất đẳng thức

Với cơ số a > 1, hàm số mũ và logarit đồng biến.

Với 0 < a < 1, hàm số mũ và logarit nghịch biến.

Vì vậy, khi giải bất phương trình, cần xác định đúng khoảng giá trị của cơ số để giữ nguyên hoặc đảo chiều bất đẳng thức.

Sử dụng máy tính cầm tay để kiểm tra kết quả

Máy tính cầm tay có thể hỗ trợ kiểm tra giá trị biểu thức, nghiệm gần đúng và thử lại kết quả.

Tuy nhiên, học sinh vẫn cần trình bày lập luận toán học đầy đủ, đặc biệt với câu hỏi đúng/sai và trả lời ngắn.

Lời kết

Luyện tập thường xuyên bài tập hàm số mũ và logarit sẽ giúp học sinh ghi nhớ công thức, nắm vững điều kiện xác định và nâng cao khả năng xử lý những bài toán từ cơ bản đến nâng cao.

Để ôn tập hiệu quả, bạn nên kết hợp học lý thuyết, luyện bài tập theo từng dạng và kiểm tra lại những lỗi sai thường gặp.

Bên cạnh mục tiêu đạt kết quả tốt trong kỳ thi tốt nghiệp THPT, học sinh yêu thích công nghệ có thể tìm hiểu thêm các chương trình đào tạo tại Cao đẳng Anh Quốc BTEC FPT để lựa chọn lộ trình học tập phù hợp với định hướng nghề nghiệp.

Câu hỏi thường gặp về bài tập hàm số mũ và logarit

Hàm số mũ và logarit học ở lớp mấy?

Theo Chương trình Giáo dục phổ thông 2018, hàm số mũ và logarit thuộc nội dung Toán 11. Học sinh lớp 12 vẫn cần ôn tập kiến thức này để vận dụng vào những bài toán tổng hợp và chuẩn bị cho kỳ thi tốt nghiệp THPT.

Điều kiện xác định của hàm số logarit là gì?

Với hàm số y = logₐ[f(x)], điều kiện xác định là:

• Cơ số a > 0 và a ≠ 1.
• Biểu thức f(x) > 0.

Khi nào cần đặt điều kiện cho bài tập hàm số mũ?

Hàm số y = a^x xác định với mọi số thực x khi a > 0 và a ≠ 1.

Nếu đặt ẩn phụ t = a^x thì phải có điều kiện t > 0.

Với các biểu thức lũy thừa khác, cần xét điều kiện tùy theo cơ số và số mũ.

Bài tập hàm số mũ và logarit có khó không?

Mức độ khó phụ thuộc vào dạng bài. Các bài tập cơ bản thường yêu cầu áp dụng công thức và biến đổi biểu thức, trong khi bài toán nâng cao có thể kết hợp tham số, tính đơn điệu và các điều kiện nghiệm.