Tổ hợp xác suất: Công thức, ví dụ và lỗi thường gặp
Tổ hợp xác suất dễ nhầm vì nhiều bài có dữ kiện gần giống nhau nhưng cách đếm khác. Xác định sai việc có xét thứ tự hay không sẽ dẫn đến dùng nhầm công thức.
Muốn làm chính xác, cần đọc kỹ quá trình chọn, xác định không gian mẫu và kiểm tra tính đồng khả năng.
Tổ hợp xác suất gồm những nội dung nào?
Chuyên đề được chia thành hai nhóm:
- Quy tắc đếm: quy tắc cộng, quy tắc nhân, hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp.
- Xác suất: không gian mẫu, biến cố, xác suất cổ điển, biến cố đối, quy tắc cộng, quy tắc nhân, xác suất có điều kiện, xác suất toàn phần và Bayes.
Phần đếm trả lời “có bao nhiêu cách?”, còn xác suất trả lời “khả năng xảy ra là bao nhiêu?”. Có thể ôn lý thuyết tổ hợp xác suất và công thức Toán 12 theo chuyên đề.
Bảng công thức tổ hợp xác suất cần nhớ
| Nội dung | Công thức | Dấu hiệu nhận biết |
|---|---|---|
| Giai thừa | n!=n(n−1)…2·1, 0!=1 |
Nền tảng của các công thức đếm |
| Hoán vị | Pₙ=n! |
Sắp xếp toàn bộ n phần tử |
| Chỉnh hợp | Aₙᵏ=n!/(n−k)! |
Chọn k từ n, có xét thứ tự |
| Tổ hợp | Cₙᵏ=n!/[k!(n−k)!] |
Chọn k từ n, không xét thứ tự |
| Xác suất cổ điển | P(A)=n(A)/n(Ω) |
Các kết quả sơ cấp đồng khả năng |
| Biến cố đối | P(Ā)=1−P(A) |
Tính “ít nhất một” qua biến cố không xảy ra |
| Quy tắc cộng | P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B) |
A hoặc B xảy ra |
| Quy tắc nhân | P(A∩B)=P(A)P(B|A) |
A và B cùng xảy ra |
| Xác suất có điều kiện | P(A|B)=P(A∩B)/P(B) |
Biết rằng B đã xảy ra |
Điều kiện của chỉnh hợp và tổ hợp là 0≤k≤n. Xác suất luôn nằm trong đoạn [0;1].
Quy tắc cộng và quy tắc nhân trong bài toán đếm
Quy tắc cộng
Nếu công việc được thực hiện theo các phương án tách biệt, số cách bằng tổng số cách từng phương án.
Ví dụ, một học sinh chọn một cuốn sách trong 4 sách Toán hoặc 3 sách Vật lý. Số cách chọn là:
4+3=7.
Quy tắc nhân
Nếu công việc gồm các bước liên tiếp, số cách bằng tích số cách của các bước.
Ví dụ, có 3 áo và 4 quần. Số bộ gồm một áo và một quần là:
3·4=12.
Lỗi phổ biến là dùng quy tắc cộng cho các bước bắt buộc cùng thực hiện hoặc dùng quy tắc nhân cho các trường hợp loại trừ nhau.
Dạng 1: Hoán vị – sắp xếp toàn bộ phần tử
Hoán vị dùng khi sắp xếp toàn bộ n phần tử phân biệt theo thứ tự:
Pₙ=n!.
Ví dụ, xếp 5 học sinh vào một hàng có:
5!=120 cách.
Nếu hai người đứng cạnh nhau, ghép họ thành một khối rồi tính thêm cách đổi vị trí trong khối. Nếu họ không đứng cạnh nhau, lấy tổng số cách trừ trường hợp đứng cạnh.
Dạng 2: Chỉnh hợp – chọn và phân công vị trí
Chỉnh hợp chập k của n phần tử được dùng khi chọn k phần tử và thứ tự hoặc vai trò có ý nghĩa:
Aₙᵏ=n!/(n−k)!.
Ví dụ, từ 8 học sinh chọn một lớp trưởng, một lớp phó và một thư ký. Ba chức vụ khác nhau nên số cách là:
A₈³=8·7·6=336.
Nếu chỉ chọn ba thành viên mà chưa phân chức vụ, dùng tổ hợp. Hãy hỏi: đổi vị trí hai người có tạo phương án mới không?
Dạng 3: Tổ hợp – chọn nhóm không xét thứ tự
Tổ hợp chập k của n phần tử:
Cₙᵏ=n!/[k!(n−k)!].
Ví dụ, chọn 3 học sinh từ 8 học sinh để tham gia một nhóm:
C₈³=56 cách.
Tính chất thường dùng: Cₙ⁰=Cₙⁿ=1 và Cₙᵏ=Cₙ^(n−k).
Với bài chọn nhóm có điều kiện, chia thành các trường hợp không trùng. Chọn 4 người gồm đúng 2 nữ từ 6 nam và 5 nữ có:
C₅²·C₆²=150 cách.
Dạng 4: Xác suất cổ điển
Khi không gian mẫu hữu hạn và các kết quả sơ cấp đồng khả năng:
P(A)=n(A)/n(Ω).
Quy trình giải:
- Mô tả phép thử.
- Xác định không gian mẫu
Ω. - Mô tả biến cố
A. - Đếm
n(Ω)vàn(A)bằng cùng một cách. - Tính xác suất và rút gọn.
Ví dụ, một hộp có 5 viên bi đỏ và 3 viên bi xanh, lấy đồng thời 2 viên. Xác suất lấy được hai viên đỏ:
n(Ω)=C₈²=28,
n(A)=C₅²=10.
Vậy:
P(A)=10/28=5/14.
Không được đếm không gian mẫu theo thứ tự nhưng biến cố thuận lợi lại không xét thứ tự. Tử và mẫu phải sử dụng cùng mô hình.
Lưu đồ nhận diện bài tổ hợp xác suất
Dạng 5: Biến cố đối và bài toán “ít nhất một”
Biến cố đối của A là Ā, gồm các kết quả mà A không xảy ra:
P(Ā)=1−P(A).
Với yêu cầu “ít nhất một”, tính biến cố đối thường nhanh hơn cộng nhiều trường hợp.
Ví dụ, gieo một đồng xu cân đối 4 lần. Xác suất xuất hiện ít nhất một mặt ngửa bằng:
1−P(không có mặt ngửa)=1−(1/2)^4=15/16.
Phương pháp này hiệu quả khi biến cố đối có ít trường hợp.
Dạng 6: Quy tắc cộng xác suất
Với hai biến cố A, B:
P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B).
Nếu A và B xung khắc, tức không thể cùng xảy ra, thì P(A∩B)=0 và:
P(A∪B)=P(A)+P(B).
Xung khắc không đồng nghĩa với độc lập. Nếu hai biến cố xung khắc có xác suất dương, chúng không độc lập.
Dạng 7: Xác suất có điều kiện và quy tắc nhân
Xác suất của A khi biết B đã xảy ra:
P(A|B)=P(A∩B)/P(B), với P(B)>0.
Suy ra quy tắc nhân:
P(A∩B)=P(B)P(A|B)=P(A)P(B|A).
Ví dụ, hộp có 4 bi đỏ, 3 bi xanh. Lấy lần lượt 2 viên không hoàn lại. Xác suất cả hai viên đỏ:
P=4/7·3/6=2/7.
Lấy không hoàn lại làm số bi thay đổi nên xác suất lần sau phải cập nhật.
Dạng 8: Biến cố độc lập
Hai biến cố A, B độc lập khi việc xảy ra của biến cố này không làm thay đổi xác suất của biến cố kia. Khi đó:
P(A∩B)=P(A)P(B).
Không kết luận độc lập chỉ vì có hai phép thử. Hãy kiểm tra kết quả lần trước có thay đổi điều kiện lần sau không.
Dạng 9: Sơ đồ cây, xác suất toàn phần và Bayes
Sơ đồ cây phù hợp với bài nhiều giai đoạn. Xác suất một đường đi bằng tích các nhánh; nhiều đường tách biệt được cộng lại.
Nếu B₁, B₂, …, Bₙ tạo thành một hệ đầy đủ các biến cố, công thức xác suất toàn phần:
P(A)=ΣP(Bᵢ)P(A|Bᵢ).
Công thức Bayes:
P(Bᵢ|A)=P(Bᵢ)P(A|Bᵢ)/P(A).
Ví dụ, xưởng I cung cấp 60% sản phẩm với tỷ lệ lỗi 2%; xưởng II cung cấp 40% với tỷ lệ lỗi 5%. Xác suất chọn phải sản phẩm lỗi:
P(L)=0,6·0,02+0,4·0,05=0,032.
Nếu biết sản phẩm bị lỗi, xác suất nó đến từ xưởng II:
P(II|L)=0,4·0,05/0,032=0,625.
Cách nhận diện công thức trong 30 giây
Hãy đặt lần lượt các câu hỏi:
- Bài yêu cầu đếm hay tính xác suất?
- Công việc gồm các phương án thay thế hay các bước liên tiếp?
- Có sử dụng toàn bộ phần tử không?
- Nếu chỉ chọn một phần, thứ tự hoặc vai trò có quan trọng không?
- Việc chọn có hoàn lại hay không?
- Các kết quả sơ cấp có đồng khả năng không?
- Có cụm từ “ít nhất một”, “biết rằng”, “đồng thời” hay “hoặc” không?
- Các trường hợp đã chia có trùng nhau không?
Xem thêm: Hệ thống chuyên đề Toán 12 để xây dựng kế hoạch ôn tập
Những lỗi thường gặp
- Dùng tổ hợp cho bài phân công chức vụ có xét vai trò.
- Dùng chỉnh hợp cho bài chỉ chọn một nhóm.
- Nhầm quy tắc cộng với quy tắc nhân.
- Chia trường hợp nhưng các trường hợp bị trùng hoặc thiếu.
- Đếm tử số và mẫu số theo hai mô hình khác nhau.
- Áp dụng xác suất cổ điển khi các kết quả không đồng khả năng.
- Nhầm biến cố xung khắc với biến cố độc lập.
- Không cập nhật số lượng khi lấy không hoàn lại.
- Quên trừ phần giao trong công thức cộng.
- Tính ra xác suất nhỏ hơn 0 hoặc lớn hơn 1 nhưng không kiểm tra.
Lời kết
Hoán vị dùng để sắp xếp toàn bộ; chỉnh hợp dùng khi chọn và xét thứ tự; tổ hợp dùng khi chọn nhưng không xét thứ tự.
Với bài xác suất, hãy mô tả không gian mẫu, biến cố và điều kiện của từng giai đoạn trước khi tính. Những cụm từ “ít nhất”, “biết rằng”, “không hoàn lại” và “độc lập” là tín hiệu quan trọng giúp lựa chọn phương pháp.
Giữ chỉ tiêu sớm
Nhận ngay học bổng lên tới 70% học phí
Câu hỏi thường gặp
Khi nào dùng chỉnh hợp, khi nào dùng tổ hợp?
Dùng chỉnh hợp khi chọn các phần tử vào những vị trí hoặc thứ tự khác nhau. Dùng tổ hợp khi chỉ cần lập nhóm và không phân biệt thứ tự.
Hoán vị khác chỉnh hợp như thế nào?
Hoán vị sắp xếp toàn bộ n phần tử, còn chỉnh hợp chỉ chọn k phần tử từ n rồi sắp xếp chúng.
Khi nào nên sử dụng biến cố đối?
Biến cố đối đặc biệt hiệu quả với yêu cầu “ít nhất một”, khi trường hợp không xảy ra lần nào dễ tính hơn việc cộng nhiều khả năng.
Biến cố độc lập có phải là biến cố xung khắc không?
Không. Độc lập nghĩa là biến cố này không ảnh hưởng xác suất biến cố kia; xung khắc nghĩa là chúng không thể cùng xảy ra.
Làm sao kiểm tra kết quả xác suất?
Kết quả phải nằm trong đoạn từ 0 đến 1. Đồng thời, hãy kiểm tra lại không gian mẫu, điều kiện đồng khả năng và việc đếm các trường hợp thuận lợi.
Copy link
Đã sao chép
Tin tức mới nhất
Nhập học liền tay