Tổng hợp công thức Toán 12 theo từng chuyên đề

Tổng hợp công thức Toán 12 theo từng chuyên đề giúp học sinh hệ thống kiến thức trước khi luyện bài và ôn thi tốt nghiệp THPT. Bạn nên hiểu điều kiện, nhận diện dạng toán rồi mới áp dụng.

Bài viết trình bày công thức trọng tâm theo từng chuyên đề. Khi sử dụng, cần kiểm tra tập xác định, đơn vị và yêu cầu của đề.

Bảng tổng quan các chuyên đề Toán 12

Chuyên đề 1: Ứng dụng đạo hàm khảo sát hàm số

Các công thức đạo hàm cơ bản

• (x^n)' = n·x^(n−1).
• (u ± v)' = u' ± v'.
• (u·v)' = u'v + uv'.
• (u/v)' = (u'v − uv')/v², với v ≠ 0.
• (u^n)' = n·u^(n−1)·u'.
• (e^u)' = u'e^u.
• (a^u)' = u'a^u ln a, với a > 0, a ≠ 1.
• (ln u)' = u'/u, với u > 0.
• (log_a u)' = u'/(u ln a).

Tính đơn điệu

Trên một khoảng thuộc tập xác định:

• f'(x) > 0 thì hàm số đồng biến.
• f'(x) < 0 thì hàm số nghịch biến.
• Nếu f'(x) ≥ 0 hoặc f'(x) ≤ 0 và chỉ bằng 0 tại hữu hạn điểm thì hàm vẫn có thể đơn điệu.

Quy trình: tìm tập xác định, tính đạo hàm, tìm nghiệm f'(x) = 0, xét dấu rồi kết luận theo từng khoảng.

Cực trị

Nếu đạo hàm đổi dấu qua x₀:

• Từ dương sang âm: x₀ là điểm cực đại.
• Từ âm sang dương: x₀ là điểm cực tiểu.

Nếu f'(x₀) = 0 và đạo hàm cấp hai tồn tại:

• f''(x₀) > 0: cực tiểu.
• f''(x₀) < 0: cực đại.
• f''(x₀) = 0: chưa đủ kết luận.

Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trên đoạn

Muốn tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của f(x) trên [a; b]:

1. Tìm các điểm xᵢ trong (a; b) mà f'(xᵢ) = 0 hoặc đạo hàm không tồn tại.
2. Tính f(a), f(b) và f(xᵢ).
3. So sánh các giá trị.

Tiệm cận

• Đường thẳng x = x₀ là tiệm cận đứng nếu ít nhất một giới hạn một phía của f(x) khi x → x₀ bằng vô cực.
• y = L là tiệm cận ngang nếu lim f(x) = L khi x → +∞ hoặc x → −∞.
• y = ax + b là tiệm cận xiên nếu lim[f(x) − (ax + b)] = 0 khi x → ±∞.

Xem cách lập bảng dấu tại Tính đơn điệu của hàm số và phân biệt các khái niệm trong bài Cực trị hàm số.

Chuyên đề 2: Hàm số mũ và logarit

Công thức lũy thừa

Với các biểu thức có nghĩa:

• a^m·a^n = a^(m+n).
• a^m/a^n = a^(m−n).
• (a^m)^n = a^(mn).
• (ab)^n = a^n b^n.
• a^(−n) = 1/a^n.
• a^(m/n) = ⁿ√(a^m), thường xét a > 0.

Công thức logarit

Với a > 0, a ≠ 1, x > 0, y > 0:

• log_a 1 = 0, log_a a = 1.
• log_a(xy) = log_a x + log_a y.
• log_a(x/y) = log_a x − log_a y.
• log_a(x^α) = αlog_a x.
• log_a x = ln x/ln a = log_b x/log_b a.
• a^(log_a x) = x, log_a(a^x) = x.

Biểu thức trong log phải dương. Hàm mũ hoặc logarit đồng biến nếu a > 1, nghịch biến nếu 0 < a < 1; trường hợp nghịch biến phải đổi chiều bất đẳng thức.

Xem thêm: Lý thuyết hàm số mũ, hàm số logarit chi tiết

Chuyên đề 3: Nguyên hàm và tích phân

Bảng nguyên hàm cơ bản

• ∫x^n dx = x^(n+1)/(n+1) + C, với n ≠ −1.
• ∫dx/x = ln|x| + C.
• ∫e^x dx = e^x + C.
• ∫a^x dx = a^x/ln a + C.
• ∫cos x dx = sin x + C.
• ∫sin x dx = −cos x + C.
• ∫dx/cos²x = tan x + C.
• ∫dx/sin²x = −cot x + C.

Tích phân xác định

Nếu F'(x) = f(x) thì:

∫[a→b] f(x)dx = F(b) − F(a).

Các tính chất cần nhớ:

• ∫[a→a] f(x)dx = 0.
• ∫[a→b] f(x)dx = −∫[b→a] f(x)dx.
• ∫[a→b](f ± g)dx = ∫f dx ± ∫g dx.
• ∫[a→b]f(x)dx = ∫[a→c]f(x)dx + ∫[c→b]f(x)dx.

Đổi biến dùng u = u(x). Từng phần: ∫u dv = uv − ∫v du.

Diện tích và thể tích

• Diện tích giới hạn bởi y = f(x), trục hoành và hai đường x = a, x = b:
  S = ∫[a→b]|f(x)|dx.
• Diện tích giữa hai đồ thị:
  S = ∫[a→b]|f(x) − g(x)|dx.
• Thể tích khối tròn xoay quanh Ox: V = π∫[a→b][f(x)]²dx.

Lỗi phổ biến là bỏ giá trị tuyệt đối khi tính diện tích hoặc không đổi cận khi đổi biến.

Chuyên đề 4: Số phức

Cho z = a + bi, với i² = −1:

• Phần thực: Re(z) = a; phần ảo: Im(z) = b.
• Số phức liên hợp: z̄ = a − bi.
• Môđun: |z| = √(a² + b²).
• z·z̄ = |z|² = a² + b².
• (a + bi) ± (c + di) = (a ± c) + (b ± d)i.
• (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i.
• z₁/z₂ = z₁·z̄₂/|z₂|², với z₂ ≠ 0.

Trên mặt phẳng phức, z = a + bi biểu diễn bởi M(a; b); khoảng cách giữa hai điểm là |z₁ − z₂|.

Xem thêm: Số phức: Công thức và phương pháp giải bài tập

Chuyên đề 5: Xác suất và thống kê

Xác suất có điều kiện

Với P(B) > 0:

P(A|B) = P(A∩B)/P(B).

Suy ra công thức nhân:

P(A∩B) = P(B)·P(A|B) = P(A)·P(B|A).

Hai biến cố độc lập khi:

P(A∩B) = P(A)P(B).

Nếu B₁, B₂, ..., Bₙ là một hệ đầy đủ các biến cố thì:

P(A) = ΣP(Bᵢ)P(A|Bᵢ).

Công thức Bayes:

P(Bₖ|A) = P(Bₖ)P(A|Bₖ)/P(A).

Số đặc trưng của mẫu số liệu

• Số trung bình: x̄ = (Σnᵢxᵢ)/n.
• Phương sai: s² = (1/n)Σnᵢ(xᵢ − x̄)².
• Độ lệch chuẩn: s = √s².
• Khoảng tứ phân vị: ΔQ = Q₃ − Q₁.

Với mẫu ghép nhóm, xᵢ là giá trị đại diện nên kết quả mang tính gần đúng.

Chuyên đề 6: Hình học tọa độ Oxyz

Vectơ và khoảng cách

Với A(x₁; y₁; z₁), B(x₂; y₂; z₂):

• AB⃗ = (x₂−x₁; y₂−y₁; z₂−z₁).
• AB = √[(x₂−x₁)² + (y₂−y₁)² + (z₂−z₁)²].
• u⃗·v⃗ = x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂.
• cos(u⃗,v⃗) = (u⃗·v⃗)/(|u⃗||v⃗|).

Mặt phẳng

Mặt phẳng (P) có dạng:

Ax + By + Cz + D = 0, với (A; B; C) ≠ (0; 0; 0).

Vectơ pháp tuyến là n⃗ = (A; B; C). Mặt phẳng qua M₀(x₀; y₀; z₀) có phương trình:

A(x−x₀) + B(y−y₀) + C(z−z₀) = 0.

Khoảng cách từ M(xM; yM; zM) đến (P):

d(M,(P)) = |AxM + ByM + CzM + D|/√(A²+B²+C²).

Đường thẳng

Đường thẳng qua M₀(x₀; y₀; z₀), có vectơ chỉ phương u⃗ = (a; b; c):

x = x₀ + at, y = y₀ + bt, z = z₀ + ct.

Nếu a, b, c khác 0, dạng chính tắc:

(x−x₀)/a = (y−y₀)/b = (z−z₀)/c.

Mặt cầu

Mặt cầu tâm I(a; b; c), bán kính R:

(x−a)² + (y−b)² + (z−c)² = R².

Dạng khai triển:

x² + y² + z² − 2ax − 2by − 2cz + d = 0,

với R² = a² + b² + c² − d > 0.

Xem thêm: Phương trình mặt phẳng Oxyz: Các dạng cần biết

Sơ đồ tư duy công thức Toán 12

Chuyên đề 7: Thể tích khối đa diện

• Khối chóp: V = (1/3)Sđáy·h.
• Khối lăng trụ: V = Sđáy·h.
• Hình hộp chữ nhật: V = abc.
• Khối lập phương cạnh a: V = a³.
• Tứ diện có ba cạnh đôi một vuông góc a, b, c: V = abc/6.

Chiều cao phải vuông góc mặt đáy; có thể tìm bằng Pythagore, hệ thức lượng hoặc khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng.

Cách học công thức Toán 12 hiệu quả

Mỗi ngày, hãy chọn một chuyên đề, viết lại công thức rồi làm ba nhóm bài: nhận biết, vận dụng trực tiếp và kết hợp.

Khi chữa bài, phân loại lỗi: nhớ sai công thức, thiếu điều kiện, biến đổi sai hoặc đọc sai yêu cầu.

Lời kết

Bảng công thức là công cụ ôn nhanh, không thay thế việc hiểu bản chất và luyện bài. Hãy ưu tiên điều kiện áp dụng thay vì chỉ đọc thuộc.

Khi luyện đề, hãy rút gọn nội dung thành sổ tay cá nhân và bổ sung những lỗi mình từng mắc.

Câu hỏi thường gặp

Có nên học thuộc toàn bộ công thức Toán 12 không?

Cần nhớ công thức cốt lõi, nhưng phải hiểu điều kiện và cách suy luận. Học thuộc máy móc dễ dẫn đến dùng sai trong bài biến đổi hoặc bài có tham số.

Nên ôn chuyên đề nào trước?

Hãy bắt đầu bằng đạo hàm và hàm số, sau đó đến mũ – logarit, nguyên hàm – tích phân, xác suất – thống kê và Oxyz. Thứ tự có thể điều chỉnh theo mức độ hổng kiến thức.

Vì sao làm đúng công thức nhưng vẫn sai đáp án?

Nguyên nhân thường là thiếu điều kiện, thay sai dữ kiện, nhầm dấu, quên giá trị tuyệt đối hoặc dùng công thức không đúng trường hợp.

Bao lâu nên ôn lại bảng công thức?

Nên ôn ngắn mỗi ngày và kiểm tra lại theo tuần. Sau mỗi đề, hãy bổ sung công thức hoặc lỗi mới vào sổ tay thay vì chờ đến sát kỳ thi.