Hình học Oxyz: Công thức và phương pháp giải

Hình học Oxyz là chuyên đề quan trọng của Toán 12, kết nối kiến thức vectơ với điểm, đường thẳng, mặt phẳng và mặt cầu trong không gian. Bài tập có thể yêu cầu viết phương trình, xét vị trí tương đối, tính góc, khoảng cách hoặc tìm hình chiếu.

Muốn giải nhanh, học sinh cần xác định đúng điểm, vectơ chỉ phương, vectơ pháp tuyến và quan hệ hình học trước khi thay số.

Hệ tọa độ Oxyz và công thức vectơ cơ bản

Trong không gian Oxyz, điểm M có tọa độ M(x;y;z). Vectơ a được viết a=(a₁;a₂;a₃).

Với A(xA;yA;zA) và B(xB;yB;zB):

• AB = (xB−xA; yB−yA; zB−zA).
• AB = √[(xB−xA)²+(yB−yA)²+(zB−zA)²].
• Trung điểm I của AB có tọa độ ((xA+xB)/2; (yA+yB)/2; (zA+zB)/2).
• Trọng tâm tam giác ABC là G((xA+xB+xC)/3; (yA+yB+yC)/3; (zA+zB+zC)/3).

Tích vô hướng của a=(a₁;a₂;a₃) và b=(b₁;b₂;b₃):

a·b = a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃.

Hai vectơ vuông góc khi a·b=0; cùng phương khi các tọa độ tương ứng tỉ lệ. Tích có hướng a×b tạo một vectơ vuông góc với cả a và b, thường dùng để tìm pháp tuyến của mặt phẳng.

Học sinh có thể ôn thêm tổng quan hình học Oxyz và hình học không gian lớp 12 để kết nối các kiến thức nền.

Bảng công thức Hình học Oxyz cần nhớ

Giá trị tuyệt đối giúp lấy góc nhọn hoặc vuông. Khi tính khoảng cách, mẫu số là độ dài của vectơ pháp tuyến.

Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng

Mặt phẳng (P) có phương trình tổng quát:

Ax+By+Cz+D=0, trong đó A, B, C không đồng thời bằng 0.

Vectơ n=(A;B;C) là một vectơ pháp tuyến. Nếu mặt phẳng đi qua M₀(x₀;y₀;z₀) và nhận n=(A;B;C) làm pháp tuyến:

A(x−x₀)+B(y−y₀)+C(z−z₀)=0.

Ví dụ, mặt phẳng qua M(1;−2;3), nhận n=(2;−1;4) làm pháp tuyến:

2(x−1)−(y+2)+4(z−3)=0,

hay 2x−y+4z−16=0.

Nếu đề cho ba điểm A, B, C không thẳng hàng, tính AB, AC, sau đó lấy n=AB×AC. Nếu mặt phẳng vuông góc với đường thẳng có chỉ phương u, có thể dùng u làm pháp tuyến.

Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng

Đường thẳng được xác định bởi một điểm M₀(x₀;y₀;z₀) và vectơ chỉ phương u=(a;b;c), với u≠0.

Phương trình tham số:

x=x₀+at, y=y₀+bt, z=z₀+ct, t∈R.

Nếu a, b, c đều khác 0, phương trình chính tắc là:

(x−x₀)/a = (y−y₀)/b = (z−z₀)/c.

Đường thẳng qua hai điểm A, B nhận AB làm vectơ chỉ phương. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (P) nhận pháp tuyến của (P) làm chỉ phương.

Ví dụ, đường thẳng qua A(1;0;−2) và B(3;−1;2) có:

AB=(2;−1;4).

Phương trình tham số:

x=1+2t, y=−t, z=−2+4t.

Nếu một thành phần chỉ phương bằng 0, tọa độ tương ứng được viết thành giá trị cố định.

Xem thêm: Phương trình mặt phẳng Oxyz: Các dạng cần biết

Dạng 3: Xét vị trí tương đối

Hai đường thẳng

So sánh hai vectơ chỉ phương:

• Không cùng phương: hai đường có thể cắt nhau hoặc chéo nhau. Giải hệ tham số để kiểm tra điểm chung.
• Cùng phương: kiểm tra một điểm của đường này có thuộc đường kia không. Nếu có thì trùng nhau; nếu không thì song song.

Hai đường có vectơ chỉ phương vuông góc chưa đủ để kết luận hai đường vuông góc; chúng còn phải cắt nhau.

Đường thẳng và mặt phẳng

Cho đường thẳng có chỉ phương u và mặt phẳng có pháp tuyến n:

• u·n≠0: đường thẳng cắt mặt phẳng tại một điểm.
• u·n=0: đường thẳng song song hoặc nằm trong mặt phẳng.

Để phân biệt, thay một điểm của đường vào phương trình mặt phẳng.

Hai mặt phẳng

So sánh hai vectơ pháp tuyến. Nếu chúng không cùng phương, hai mặt phẳng cắt nhau. Nếu cùng phương, hai mặt phẳng song song hoặc trùng nhau; cần kiểm tra thêm toàn bộ hệ số.

Xem thêm: Phương trình đường thẳng Oxyz: Công thức và ví dụ

Lưu đồ giải Hình học Oxyz

Dạng 4: Tính góc trong không gian Oxyz

Góc giữa hai đường thẳng được tính qua các vectơ chỉ phương u₁, u₂:

cosφ=|u₁·u₂|/(|u₁||u₂|).

Góc giữa hai mặt phẳng được tính qua hai pháp tuyến n₁, n₂ bằng công thức tương tự.

Góc giữa đường thẳng chỉ phương u và mặt phẳng pháp tuyến n thỏa:

sinφ=|u·n|/(|u||n|).

Góc đường thẳng và mặt phẳng phụ với góc giữa chỉ phương và pháp tuyến nên công thức dùng sin.

Sau khi tính sin hoặc cos, cần đọc đúng đơn vị góc và làm tròn theo yêu cầu.

Dạng 5: Tính khoảng cách

Khoảng cách từ điểm M(xM;yM;zM) đến mặt phẳng (P): Ax+By+Cz+D=0:

d(M,(P))=|AxM+ByM+CzM+D|/√(A²+B²+C²).

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song:

(P): Ax+By+Cz+D₁=0,

(Q): Ax+By+Cz+D₂=0

là:

d((P),(Q))=|D₁−D₂|/√(A²+B²+C²).

Trước khi áp dụng, phải đưa hai phương trình về cùng bộ hệ số A, B, C.

Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng qua A, chỉ phương u có thể tính bằng:

d(M,d)=|AM×u|/|u|.

Khoảng cách giữa hai đường chéo nhau qua A, B, có chỉ phương u, v:

d(d₁,d₂)=|AB·(u×v)|/|u×v|.

Với bài cơ bản, có thể dựng mặt phẳng phụ hoặc tìm hình chiếu.

Dạng 6: Phương trình mặt cầu

Mặt cầu tâm I(a;b;c), bán kính R>0 có phương trình:

(x−a)²+(y−b)²+(z−c)²=R².

Dạng tổng quát:

x²+y²+z²+Ax+By+Cz+D=0.

Khi đó:

I(−A/2;−B/2;−C/2)

và:

R=1/2√(A²+B²+C²−4D).

Biểu thức trong căn phải dương để có mặt cầu thực sự.

Nếu biết đường kính AB, tâm là trung điểm của AB và R=AB/2. Nếu mặt cầu tâm I tiếp xúc mặt phẳng (P), bán kính bằng d(I,(P)). Tiếp diện tại điểm M thuộc mặt cầu nhận IM làm vectơ pháp tuyến.

Xem thêm: Mặt cầu Oxyz: Công thức và dạng bài

Dạng 7: Hình chiếu và điểm đối xứng

Để tìm hình chiếu H của điểm M lên mặt phẳng (P):

1. Viết đường thẳng qua M và vuông góc (P), nhận pháp tuyến của (P) làm chỉ phương.
2. Tìm giao điểm của đường thẳng đó với (P).
3. Giao điểm chính là H.

Điểm M' đối xứng với M qua (P) thỏa H là trung điểm của MM', nên:

M'=2H−M theo từng tọa độ.

Để tìm hình chiếu lên đường thẳng, đặt H thuộc đường thẳng rồi sử dụng điều kiện MH vuông góc với vectơ chỉ phương. Phương pháp tham số thường giúp thiết lập phương trình nhanh hơn.

Dạng 8: Giao điểm và giao tuyến

Muốn tìm giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng, thay x, y, z từ phương trình tham số vào phương trình mặt phẳng để tìm t. Sau đó thế lại để có tọa độ điểm.

Giao tuyến của hai mặt phẳng là một đường thẳng. Vectơ chỉ phương của giao tuyến có thể lấy:

u=n₁×n₂.

Tiếp theo, tìm một điểm chung bằng cách giải hệ hai phương trình mặt phẳng, thường chọn trước một tọa độ thuận tiện. Cuối cùng viết phương trình đường thẳng từ điểm và vectơ chỉ phương.

Quy trình giải nhanh Hình học Oxyz

1. Ghi rõ các điểm và vectơ từ giả thiết.
2. Xác định đối tượng cần tìm: đường, mặt phẳng, mặt cầu, góc hay khoảng cách.
3. Chọn đúng vectơ chỉ phương hoặc pháp tuyến.
4. Viết phương trình trước khi biến đổi dài.
5. Sử dụng tích vô hướng cho vuông góc, tỉ lệ cho song song và tích có hướng để tạo vectơ vuông góc.
6. Thay lại điểm hoặc kiểm tra quan hệ hình học.
7. Kiểm tra dấu, căn thức và điều kiện tồn tại.

Trong trắc nghiệm, thử điểm và so sánh phương vectơ giúp loại đáp án; trong tự luận, cần nêu nguồn gốc vectơ.

Những lỗi thường gặp

• Nhầm vectơ chỉ phương với vectơ pháp tuyến.
• Tính sai AB do đảo thứ tự tọa độ.
• Kết luận hai đường vuông góc chỉ từ tích vô hướng bằng 0 mà chưa kiểm tra giao nhau.
• Viết phương trình chính tắc khi mẫu bằng 0.
• Quên giá trị tuyệt đối trong công thức góc và khoảng cách.
• Nhầm góc đường thẳng – mặt phẳng dùng cos thay vì sin.
• Kết luận hai mặt phẳng song song mà không loại trường hợp trùng nhau.
• Đọc sai dấu tâm mặt cầu từ các biểu thức bình phương.
• Không thay điểm vào phương trình để kiểm tra.

Lời kết

Hình học Oxyz được giải từ việc chuyển dữ kiện thành điểm và vectơ. Đường thẳng cần điểm và chỉ phương; mặt phẳng cần điểm và pháp tuyến; mặt cầu cần tâm và bán kính.

Khi đã xác định đúng các yếu tố này, học sinh có thể dùng tích vô hướng, tích có hướng, phương trình tham số và công thức khoảng cách để giải bài theo quy trình thống nhất. Hãy kiểm tra kết quả bằng cách thay điểm và đối chiếu quan hệ hình học trước khi kết luận.

Câu hỏi thường gặp

Làm sao phân biệt vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến?

Vectơ chỉ phương song song với đường thẳng, còn vectơ pháp tuyến vuông góc với mặt phẳng. Khi đường thẳng vuông góc mặt phẳng, hai vectơ này cùng phương.

Khi nào hai đường thẳng trong không gian vuông góc?

Hai đường phải cắt nhau và hai vectơ chỉ phương có tích vô hướng bằng 0. Nếu không cắt nhau, chúng có thể là hai đường chéo nhau có phương vuông góc.

Cách nhanh nhất để tìm giao điểm đường thẳng và mặt phẳng là gì?

Thay phương trình tham số của đường thẳng vào phương trình mặt phẳng, giải tham số rồi thế ngược để tìm tọa độ giao điểm.

Làm sao kiểm tra một phương trình có phải mặt cầu không?

Hệ số của x², y², z² phải bằng nhau và không có tích chéo. Sau khi hoàn thành bình phương, bán kính bình phương phải dương.

Có cần học thuộc mọi công thức khoảng cách trong Oxyz không?

Nên nhớ công thức cơ bản từ điểm đến mặt phẳng. Các công thức phức tạp có thể được suy ra bằng tích có hướng, tích hỗn hợp hoặc phương pháp hình chiếu.