Tổ hợp xác suất là gì? Công thức, lý thuyết và bài tập 

Tổ hợp xác suất được xem là chương “khó nhằn” nhất của môn Toán Đại Số lớp 11. Nhiều học sinh khá lo ngại và hoang mang khi học phần này. Để giúp các bạn giải quyết chuyên đề tổ hợp xác suất một cách dễ dàng và hiệu quả BTEC FPT đã tổng hợp lại các công thức, cách tính và kinh nghiệm học tổ hợp xác suất để chia sẻ đến các bạn học sinh. 

Tổ hợp xác suất là gì

Tổ hợp xác suất là gì 

Khái niệm: Cho một tập hợp A gồm n phần tử và k là một số nguyên dương với 0 ≤ k ≤ n, ta gọi một tổ hợp chập k của n phần tử là một tập con gồm k phần tử của A mà không quan tâm đến thứ tự sắp xếp.

Ví dụ: Cho tập hợp A = {1, 2, 3}.

Có bao nhiêu cách chọn 2 phần tử từ tập hợp A?

Có 3 cách chọn 2 phần tử từ tập hợp A mà không quan tâm đến thứ tự sắp xếp: {1, 2}, {1, 3}, {2, 3} 

Lý thuyết Tổ hợp xác suất

1. Tính chất của xác suất

Giả sử A và B là các biến cố liên quan đến một phép thử có một số hữu hạn kết quả đồng khả năng xuất hiện.

P(∅) = 0, P(Ω) = 1

0 ≤ P(A) ≤ 1, với mọi biến cố A.

Nếu A và B xung khắc, thì P(AB) = P(A) + P(B) (công thức cộng xác suất)

Với mọi biến cố A, ta có: P(A−) = 1 – P(A).

A và B là hai biến cố độc lập khi và chỉ khi P(A.B) = P(A).P(B).

👉 Xem thêm: Đề thi THPT Quốc Gia 2024 Môn Toán mới nhất
👉 Xem thêm: Bộ 20 đề thi thử THPT quốc gia 2024 môn toán (Có Lời Giải)
👉 Xem thêm: Tài liệu ôn thi THPT quốc gia 2024 môn toán
👉 Xem thêm: Bộ đề thi tham khảo THPT quốc gia 2024 môn toán
👉 Xem thêm: Cấu trúc đề thi thpt quốc gia môn toán 2024
👉 Xem thêm: Tổng hợp công thức toán thi thpt quốc gia mới nhất  

2. Các dạng toán thường gặp trong chuyên đề Tổ hợp xác suất

Dạng 1: Sắp xếp các số (không có chữ số 0)

Dạng 2: Sắp xếp các số (có chữ số 0)

Dạng 3: Sắp xếp các số có điều kiện kèm theo

Dạng 4: Bốc đồ vật

Dạng 5: Sắp xếp vị trí theo hàng 

Dạng 6: Sắp xếp vị trí theo vòng tròn

Dạng 7: Viết khai triển nhị thức newton

Dạng 8: Các bài toán liên quan đến khai triển nhị thức newton

Dạng 9: Tính xác suất của 1 biến cố 

Các công thức Tổ hợp xác suất

1. Quy tắc cộng

Một công việc được hoàn thành bởi một trong hai hành động. Nếu hành động này có m cách thực hiện, hành động kia có n cách thực hiện không trùng với bất kỳ cách nào của hành động thứ nhất thì công việc đó có m+n cách thực hiện.

2. Quy tắc nhân

Một công việc được hoàn thành bởi hai hành động liên tiếp. Nếu có m cách thực hiện hành động thứ nhất và ứng với mỗi cách đó có n cách thực hiện hành động thứ hai thì có m.n cách hoàn thành công việc.

👉 Xem thêm: Đề thi THPT Quốc Gia 2024 Môn Toán mới nhất
👉 Xem thêm: Bộ 20 đề thi thử THPT quốc gia 2024 môn toán (Có Lời Giải)
👉 Xem thêm: Tài liệu ôn thi THPT quốc gia 2024 môn toán
👉 Xem thêm: Bộ đề thi tham khảo THPT quốc gia 2024 môn toán
👉 Xem thêm: Cấu trúc đề thi thpt quốc gia môn toán 2024
👉 Xem thêm: Tổng hợp công thức toán thi thpt quốc gia mới nhất  

3. Công thức hoán vị

Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ≥ 1).

• Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử.
• Số các hoán vị của n phần tử là: Pn = n(n-1) ... 2.1 = n!

4. Công thức chỉnh hợp

• Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ≥ 1).
• Kết quả của việc lấy k phần tử khác nhau từ n phần tử của tập hợp A và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho.
• Số các chỉnh hợp chập k của n phần tử là: A(k, n) = n(n-1)...(n-k+1) = n!/(n - k)!

5. Công thức tính tổ hợp 

Tổ hợp lặp 

• Cho tập {A = a1;a2;...;an} và số tự nhiên K bất kỳ. Một tổ hợp lặp chập k của n phần tử là một hợp gồm k phần tử, trong đó mỗi phần tử là một trong n phần tử của A
• Số tổ hợp lặp chập k của n phần tử: C(k, n) = C(k, n+k-1) + C(n-1, n+k-1)

Tổ hợp không lặp

• Cho tập A gồm n phần tử. Mỗi tập con gồm (1 ≤ k ≤ n) phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử. 
• C(k, n) = A(k, n)/k! = n!/k!(n-k)!
• Quy ước: C(0, n) = 1
• Tính chất: 

C(0, n) = C(n, n)=1; 

C(k, n) = C(n-k, n); 

C(k, n) = C(k-1, n-1) + C(k, n) = [(n-k+1)/k].C(k-1, n). 

6. Các công thức tính xác suất

P(A) = n(A)/n(Ω) 

Trong đó:

• n(A): là phần tử của tập hợp A, cũng chính là số các kết quả có thể có của phép thử T thuận lợi cho biến Q.
• n(Ω): là số phân tử của không gian mẫu Ω cũng chính là số các kết quả có thể có của phép thử T

Kinh nghiệm làm bài tập Tổ hợp xác suất

1. Nắm chắc lý thuyết cơ bản

Trước hết, các bạn học sinh cần nắm chắc lý thuyết về Tổ hợp xác suất bao gồm khái niệm, tính chất, các công thức hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp xác suất để có thể áp dụng vào giải bài tập. 

Để ghi nhớ kiến thức nhanh chóng, hiệu quả các bạn học sinh nên tự xây dựng cho mình sơ đồ tư duy cá nhân sau mỗi bài học. 

2. Luyện tập thường xuyên

Các bạn học sinh nên làm nhiều dạng bài tập cấp số nhân khác nhau, bao gồm cả bài tập trắc nghiệm và bài tập tự luận theo mức độ từ dễ đến khó. Việc luyện tập thường xuyên giúp các bạn làm quen với các dạng câu hỏi và phương pháp giải, từ đó nâng cao kỹ năng và điểm số. 

Bên cạnh đó, các bạn học sinh cần chú ý chọn những nguồn tài liệu tham khảo uy tín và bám sát đề thi THPT Quốc Gia. Có rất nhiều nguồn tài liệu uy tín các bạn có thể tham khảo để luyện giải bài tập như sách giáo khoa, sách bài tập và các loại sách tham khảo được xuất bản bởi Bộ giáo dục và đào tạo, Đại học Quốc Gia Hà Nội,…

3. Sử dụng máy tính cầm tay

Ngoài ra, các bạn học sinh nên học cách giải nhanh các bài tập Tổ hợp xác suất bằng máy tính cầm tay để có thể giải nhanh các câu hỏi trắc nghiệm một cách chính xác và tiết kiệm thời gian làm bài. 

Bài tập tổ hợp xác suất

👉 Xem thêm: 100 bài tập xác suất lớp 11 

Kinh nghiệm làm bài tập Tổ hợp xác suất

Hy vọng với những kinh nghiệm mà chúng mình đã chia sẻ trên đây sẽ giúp các bạn học sinh có quá trình học tập và ôn thi hiệu quả tổ hợp xác suất. BTEC FPT chúc bạn thành công trên con đường học tập.