Cấp số nhân là gì? Công thức, lý thuyết và bài tập 

Cấp số nhân là phần kiến thức trọng tâm trong chương trình giải tích lớp 12 và thường xuyên xuất hiện trong các câu hỏi vận dụng cao của đề thi THPT Quốc Gia. Vì vậy để đạt điểm cao môn Toán các bạn học sinh cần nắm chắc lý thuyết và công thức tính tổng cấp số nhân. Nhằm giúp các bạn học sinh học tập tốt hơn, BTEC FPT đã tổng hợp lại kiến thức trọng tâm của chuyên đề này và chia sẻ cho các bạn trong bài viết dưới đây. 

Cấp số nhân là gì

Cấp số nhân là gì 

1. Khái niệm cấp số nhân

Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn) thỏa mãn điều kiện kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi (hằng số này được gọi là công bội q của cấp số nhân). Có nghĩa là: 

Un là cấp số nhân với ∀n≥2, U_n-1 với n∈N* 

Ví dụ 1:

Dãy số (1, 2, 4, 8, 16, ...) là cấp số nhân với:

Số hạng đầu tiên: U1 = 1

Công bội: q = 2

Ví dụ 2:

Dãy số (3, 9, 27, 81, ...) là cấp số nhân với:

Số hạng đầu tiên: U1 = 3

Công bội: q = 3

Nếu (U_n) là cấp số nhân với công bội q, ta có công thức truy hồi: 

U_n+1 = U_n.q

• q > 1 => Cấp số nhân là dãy số tăng
• q = 1 => Cấp số nhân là dãy số không đổi
• 0 < q < 1 => Cấp số nhân là dãy số giảm
• q = 0 => Cấp số nhân có dạng U1, 0, 0...
• q < 0 => Cấp số nhân là dãy không tăng, không giảm

👉 Xem thêm: Đề thi THPT Quốc Gia 2024 Môn Toán mới nhất
👉 Xem thêm: Bộ 20 đề thi thử THPT quốc gia 2024 môn toán (Có Lời Giải)
👉 Xem thêm: Tài liệu ôn thi THPT quốc gia 2024 môn toán
👉 Xem thêm: Bộ đề thi tham khảo THPT quốc gia 2024 môn toán
👉 Xem thêm: Cấu trúc đề thi thpt quốc gia môn toán 2024
👉 Xem thêm: Tổng hợp công thức toán thi thpt quốc gia mới nhất  

2. Khái niệm công bội q của cấp số nhân 

Công bội q của cấp số nhân là số không đổi mà mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) bằng tích của số hạng đứng ngay trước nó với q, ta có công thức công bội: 

Công bội q = U_n+1/U_n

Ví dụ 1: Cho cấp số nhân U1 = 3, U2 = 9. Tính công bội q 

Ta có: 

q = U2/U1 = 9/3 = 3

Ví dụ 2: Cho cấp số nhân U3 = 8, U4 = 16. Tính công bội q

Ta có: 

q = U4/U3 = 16/8 = 2

Lý thuyết Cấp số nhân

1. Tính chất của cấp số nhân

Nếu số (Un) là cấp số nhân thì từ số hạng thứ 2, bình phương của mỗi số hạng bằng tích của số hạng đứng kề trước, kề sau nó trong dãy( trừ số hạng cuối trong cấp số nhân hữu hạn). Tức là: (U_k)² = U_k-1. U_k+1

Còn nếu cấp số nhân Un có số hạng đầu U1 và công bội q thì số hạng tổng quát Un được tính theo công thức sau: Un= U1. qⁿ - 1

Tổng n số hạng đầu có dạng Sn = U1 + U2 +…+ Un = U1(qⁿ-1)/q - 1

• Trong đó, q = 0 thì dãy cấp số nhân sẽ là u1; 0; 0; …; 0… và Sn = u1
• Nếu q = 1 thì dãy cấp số nhân có dạng u1; u1; u1; …; u1 => Sn = n.u1
• Khi u1 = 0 thì mọi q, cấp số nhân có dạng 0; 0; 0; 0…; 0 và Sn= 0

Đăng ký nhận học bổng ngay

• Họ và tên*
• Số điện thoại*
• Năm sinh*
• Cở sở*
  Chọn cở sở*Hà NộiHồ Chí MinhĐà NẵngCần Thơ
• Ngành học
  Chọn ngành họcKỹ thuật phần mềmQuản trị kinh doanhMarketingLogistics - Mua sắm và quản lý cung ứngThiết kế đồ hoạCông nghệ bán dẫnChưa xác định ngành học

2. Các dạng bài tập cấp số nhân 

Dạng bài 1: Xác định cấp số nhân

Dạng bài 2: Tìm công thức của cấp số nhân

Dạng bài 3: Tìm điều kiện để dãy số lập thành cấp số nhân. Chứng minh cấp số nhân.

Dạng bài 4: Tìm hạng tử trong cấp số nhân

Dạng bài 5: Tính tổng của cấp số nhân

Dạng bài 6: Bài toán thực tế 

Các công thức Cấp số nhân

1. Công thức định nghĩa cấp số nhân

Un = U1.q^n-1 (n ≥ 2)

Trong đó:

• Un là số hạng thứ n của cấp số nhân
• U1 là số hạng đầu của cấp số nhân
• q là công bội của cấp số nhân

2. Công thức tính tổng của cấp số nhân 

Sn = U1(qⁿ-1)/q-1, q≠1

Trong đó:

Sn là tổng của cấp số nhân

U1 là số hạng đầu của cấp số nhân

q là công bội của cấp số nhân

3. Công thức truy hồi

Un = Un-1 . q với n ∈ N* 

Trong đó:

• Un là số hạng thứ n của cấp số nhân
• q là công bội của cấp số nhân

Đặc biệt:

• Khi q = 0, cấp số nhân có dạng u1; 0; 0; … 0; …
• Khi q = 1, cấp số nhân có dạng u1; u1; … u1;…
• Khi u1 = 0 thì với mọi q, cấp số nhân có dạng 0; 0; 0; … 0; …

Kinh nghiệm làm bài tập Cấp số nhân

1. Nắm chắc lý thuyết cơ bản

Trước hết, các bạn học sinh cần nắm chắc lý thuyết cấp số nhân bao gồm các khái niệm, tính chất, các công thức tính toán cấp số nhân để có thể áp dụng vào giải bài tập. 

Để ghi nhớ kiến thức nhanh chóng, hiệu quả các bạn học sinh nên tự xây dựng cho mình sơ đồ tư duy cá nhân sau mỗi bài học. 

2. Luyện tập thường xuyên

Các bạn học sinh nên làm nhiều dạng bài tập cấp số nhân khác nhau, bao gồm cả bài tập trắc nghiệm và bài tập tự luận theo mức độ từ dễ đến khó. Việc luyện tập thường xuyên giúp các bạn làm quen với các dạng câu hỏi và phương pháp giải, từ đó nâng cao kỹ năng và điểm số. 

Bên cạnh đó, các bạn học sinh cần chú ý chọn những nguồn tài liệu tham khảo uy tín, bám sát đề thi THPT Quốc Gia. Có rất nhiều nguồn tài liệu uy tín các bạn có thể tham khảo để luyện giải bài tập như sách giáo khoa, sách bài tập và các loại sách tham khảo được xuất bản bởi Bộ giáo dục và đào tạo, Đại học Quốc Gia Hà Nội,…

3. Sử dụng máy tính cầm tay

Ngoài ra, các bạn học sinh nên học cách giải nhanh các bài tập cấp số nhân bằng máy tính cầm tay để có thể giải quyết các câu hỏi trắc nghiệm một cách nhanh chóng, tiện lợi và chính xác. 

Bài tập cấp số nhân

👉 Xem thêm: 100 bài tập cấp số nhân 

Kinh nghiệm làm bài tập Cấp số nhân

Hy vọng với những kinh nghiệm mà chúng mình đã chia sẻ trên đây sẽ giúp các bạn học sinh có quá trình học tập và ôn thi hiệu quả cấp số nhân. BTEC FPT chúc bạn thành công trên con đường học tập.