Tích phân lớp 12: Công thức, lý thuyết và bài tập

9:21 29/02/2024

Nguyên hàm tích phân là chương quan trọng trong chương trình giải tích lớp 12 và thường xuyên xuất hiện trong đề thi THPT Quốc Gia. Vì thế để đạt điểm cao trong kỳ thi này các bạn học sinh cần ôn tập kỹ càng. Trong bài viết dưới đây BTEC FPT đã tổng hợp lại kiến thức lý thuyết về tích phân và phương pháp giải toán tích phân lớp 12 cho các bạn học sinh tham khảo. 

Tích phân là gì
Tích phân là gì

Tích phân là gì

Xét hàm số f(x) xác định và liên tục trên đoạn [a;b]. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn [a;b] thì F(b) – F(a) chính là tích phân từ a đến b của hàm số f(x), hay còn gọi là tích phân được xác định trên đoạn [a;b]. Cụ thể: 

∫(a đến b) f(x)dx =F(b)-F(a)

Trong đó:

  • a và b là giới hạn dưới và giới hạn trên của tích phân.
  • f(x) là hàm số cần tích phân. 
  • dx biểu thị đối với biến hàm số x, tức là khoảng cách trên trục hoành.

Lý thuyết tích phân lớp 12

1. Tính chất của tích phân

  • Tích phân tại một giá trị xác định của biến số thì bằng 0: aaf(x)dx=0
  • Đảo cận thì đổi dấu: ∫(a đến b) f(x)dx= ∫(-b đến a) f(x)dx
  • Hằng số trong tích phân có thể được đưa ra ngoài dấu tích phân:

∫(a đến b) k.f(x)dx = k.∫(a đến b) f(x)dx

  • Tích phân một tổng bằng tổng các tích phân

∫(a đến b) [f1(x)土f2(x)土...土fn(x)]dx = ∫(a đến b) f1(x)dx 土 ∫(a đến b) f2(x)dx土...土∫ (a đến b) fn(x)dx

👉 Xem thêm: Đề thi THPT Quốc Gia 2024 Môn Toán mới nhất
👉 Xem thêm: Bộ 20 đề thi thử THPT quốc gia 2024 môn toán (Có Lời Giải)
👉 Xem thêm: Tài liệu ôn thi THPT quốc gia 2024 môn toán
👉 Xem thêm: Bộ đề thi tham khảo THPT quốc gia 2024 môn toán
👉 Xem thêm: Cấu trúc đề thi thpt quốc gia môn toán 2024
👉 Xem thêm: Tổng hợp công thức toán thi thpt quốc gia mới nhất  

2. Phương pháp tính tích phân 

Dưới đây là 4 phương pháp tính tích phân thường được sử dụng để giải các bài toán tích phân

  • Phương pháp 1: Đổi biến số

Phương pháp đổi biến số được sử dụng để tính tích phân của các hàm số có dạng phức tạp. Phương pháp này dựa trên việc thay đổi biến số trong tích phân để đưa nó về dạng đơn giản hơn mà có thể sử dụng các công thức tích phân cơ bản.

Các bước thực hiện:

Bước 1. Chọn hàm số để đổi biến:

  • Xác định hàm số có thể được biểu diễn qua một biến mới (t) thông qua phép đổi biến x = u(t).
  • Hàm số u(t) cần có đạo hàm liên tục u'(t).

Bước 2. Biến đổi tích phân:

  • Thay đổi biến x bằng u(t) trong hàm số dưới dấu tích phân.
  • Thay đổi cận tích phân bằng cách sử dụng hàm u(t).
  • Nhân thêm |u'(t)| để đảm bảo tính chính xác của phép đổi biến.

Bước 3. Tính tích phân:

  • Sử dụng các kỹ thuật tích phân cơ bản để tính tích phân sau khi đổi biến.
  • Thay đổi biến t trở lại x trong kết quả thu được.

Phương pháp 2: Tích phân từng phần

Phương pháp tích phân từng phần được sử dụng để tính tích phân của các hàm số có dạng tích của hai hàm số. Phương pháp này dựa trên việc áp dụng công thức tích phân từng phần để biến đổi tích phân về dạng đơn giản hơn mà có thể sử dụng các công thức tích phân cơ bản.

Công thức tích phân từng phần:

∫(a đến b) u(x)v'(x)dx =[u(x)-u(x)]| - ∫(a đến b) u'(x)v(x)dx 

Phương pháp 3: Phân tích

Với phương pháp tích phân từng phần các em có thể sử dụng các đồng nhất các công thức sau đó biến đổi các biểu thức dưới dấu tích phân để trở thành tổng của các hạng tử

  • Phương pháp 4: Vi phân 

Phương pháp vi phân là một kỹ thuật để tính tích phân của các hàm số có dạng f(x) dx, trong đó f(x) là một hàm số có thể được biểu diễn dưới dạng đạo hàm của một hàm số khác g(x).

Công thức:

∫ f(x) dx = g(x) + C

Cách thực hiện:

Bước 1: Xác định hàm g(x): Tìm một hàm g(x) sao cho g'(x) = f(x).

Bước 2: Tính tích phân: Sử dụng công thức tích phân cơ bản ∫ g'(x) dx = g(x) + C.

Bước 3: Thêm hằng số tích phân: Thêm hằng số C vào kết quả thu được.

Banner TNNN2 1

3. Các dạng bài tập tích phân cơ bản

Dưới đây là 5 dạng toán thường gặp trong các đề thi Toán THPT 

Dạng 1: Tính tích phân của hàm logarit

Dạng 2: Tính tích phân của hàm phân thức

Dạng 3: Tính tích phân của hàm căn thức

Dạng 4: Tính tích phân của hàm đa thức

Dạng 5: Tính tích phân của hàm lượng giác

Các công thức tích phân lớp 12​   

Nắm chắc công thức tích phân là yếu tố quan trọng để có thể giải quyết các bài tập tích phân. Nhằm giúp các bạn học sinh học tốt chuyên đề tích phân, BTEC FPT đã tổng hợp lại các công thức tích phân ở phía dưới đây:

Các công thức tích phân lớp 12
Các công thức tích phân lớp 12

Kinh nghiệm làm bài tập tích phân lớp 12

1. Nắm chắc lý thuyết

Trước hết, các bạn học sinh cần nắm chắc lý thuyết tích phân bao gồm khái niệm, tính chất, các công thức tính toán tích phân để có thể áp dụng vào giải bài tập. Để ghi nhớ kiến thức nhanh chóng, hiệu quả các bạn học sinh nên tự xây dựng cho mình sơ đồ tư duy cá nhân cho mỗi bài học. 

2. Luyện tập

Các bạn học sinh nên luyện nhiều dạng bài tập khác nhau, bao gồm cả bài tập trắc nghiệm và bài tập tự luận có mức độ từ dễ đến khó. Việc luyện tập thường xuyên giúp các bạn làm quen với các dạng câu hỏi và phương pháp giải, từ đó nâng cao kỹ năng và điểm số. 

Bên cạnh đó, các bạn cần chú ý chọn những nguồn tài liệu tham khảo uy tín, bám sát đề thi THPT Quốc Gia. Có rất nhiều nguồn tài liệu uy tín các bạn có thể tham khảo để luyện giải bài tập như sách giáo khoa, sách bài tập và các loại sách tham khảo được xuất bản bởi Bộ giáo dục và đào tạo, Đại học Quốc Gia Hà Nội,…

3. Sử dụng máy tính cầm tay

Ngoài ra, các bạn học sinh nên học cách giải nhanh các bài tập tích phân bằng máy tính cầm tay để có thể giải quyết các bài tập trắc nghiệm một cách nhanh chóng, tiện lợi và tiết kiệm thời gian. 

Bài tập tích phân lớp 12 mới nhất

👉 Xem thêm: 100 bài tập tích phân 

Kinh nghiệm làm bài tập tích phân lớp 12
Kinh nghiệm làm bài tập tích phân lớp 12

Hy vọng với những kinh nghiệm mà chúng mình đã chia sẻ trên đây sẽ giúp các bạn học sinh có quá trình học tập và ôn thi hiệu quả. BTEC FPT chúc bạn thành công trên con đường học tập. 

 

Tags:

Có thể bạn chưa đọc

  • Đặt câu hỏi tư vấn
  • BTEC FPT sẽ trực tiếp liên hệ lại với bạn trong vòng 48h để giải đáp cụ thể mọi thắc mắc về vấn đề tuyển sinh và học tập của bạn