Con lắc đơn: Công thức và phương pháp giải
Con lắc đơn là nội dung quan trọng trong chương Dao động cơ của Vật lý 12. Bài tập thường hỏi chu kỳ, vận tốc, lực căng dây, năng lượng hoặc sự thay đổi của đồng hồ quả lắc. Muốn giải nhanh, học sinh cần hiểu điều kiện dao động điều hòa và chọn đúng hệ công thức.
Con lắc đơn là gì?
Con lắc đơn gồm vật nhỏ khối lượng m treo vào sợi dây nhẹ, không dãn, chiều dài l. Khi kéo vật lệch khỏi vị trí cân bằng rồi thả, vật chuyển động qua lại trên một cung tròn.
Trong mô hình lý tưởng, bỏ qua ma sát và lực cản không khí. Nếu góc lệch nhỏ, thường lấy |α| ≤ 10° và tính α bằng radian, con lắc dao động điều hòa.
Dao động được mô tả bằng li độ góc α hoặc li độ cong s = lα.
Khi góc nhỏ, phương trình có dạng:
α = α₀cos(ωt + φ)
hoặc:
s = S₀cos(ωt + φ), với S₀ = lα₀.
Học sinh có thể tham khảo lý thuyết Vật lý lớp 12 trước khi luyện dạng nâng cao.
Bảng công thức con lắc đơn cần nhớ
| Đại lượng | Công thức | Điều kiện hoặc ghi chú |
|---|---|---|
| Tần số góc | ω = √(g/l) | Dao động góc nhỏ |
| Chu kỳ | T = 2π√(l/g) | Không phụ thuộc khối lượng |
| Tần số | f = (1/2π)√(g/l) | f = 1/T |
| Li độ cong | s = lα | α tính bằng rad |
| Tốc độ cực đại | vmax = ωS₀ = α₀√(gl) | Xấp xỉ góc nhỏ |
| Gia tốc tiếp tuyến | at = −(g/l)s = −ω²s | Hướng về vị trí cân bằng |
| Thế năng | Wt = mgl(1 − cosα) | Chọn mốc tại vị trí thấp nhất |
| Động năng | Wđ = (1/2)mv² | Luôn không âm |
| Cơ năng khi thả từ biên | W = mgl(1 − cosα₀) | Bỏ qua ma sát |
| Vận tốc tại góc α | v² = 2gl(cosα − cosα₀) | Thả nhẹ từ góc α₀ |
| Lực căng dây | F = mgcosα + mv²/l | Chiếu theo phương bán kính |
Chu kỳ, tần số và các nhận xét nhanh
Với dao động nhỏ:
ω = √(g/l)
T = 2π√(l/g)
f = 1/T = (1/2π)√(g/l).
Chu kỳ tăng theo chiều dài l, giảm khi g tăng, không phụ thuộc khối lượng và gần như không phụ thuộc biên độ khi góc nhỏ.
Ví dụ, con lắc có l = 1 m tại nơi g = π² m/s²:
T = 2π√(1/π²) = 2 s.
Nếu hai con lắc ở cùng một nơi thì:
T₂/T₁ = √(l₂/l₁).
Phương trình dao động của con lắc đơn
Khi góc nhỏ, có thể dùng phương trình li độ góc:
α = α₀cos(ωt + φ).
Hoặc phương trình li độ cong:
s = S₀cos(ωt + φ).
Vận tốc theo phương tiếp tuyến:
v = −ωS₀sin(ωt + φ).
Gia tốc tiếp tuyến:
at = −ω²s.
Hệ thức độc lập với thời gian:
v² = ω²(S₀² − s²).
Khi đề cho góc theo độ, cần đổi sang radian trước khi dùng các công thức điều hòa:
α(rad) = α(độ) × π/180.
Năng lượng của con lắc đơn
Chọn mốc thế năng tại vị trí cân bằng. Ở góc α, vật có độ cao:
h = l(1 − cosα).
Thế năng là:
Wt = mgl(1 − cosα).
Động năng:
Wđ = (1/2)mv².
Khi bỏ qua ma sát, cơ năng được bảo toàn. Nếu thả nhẹ từ biên α₀:
W = mgl(1 − cosα₀).
Suy ra vận tốc tại góc α:
v = √[2gl(cosα − cosα₀)].
Tại vị trí cân bằng α = 0, tốc độ đạt cực đại:
vmax = √[2gl(1 − cosα₀)].
Với góc nhỏ, dùng 1 − cosα ≈ α²/2, ta được:
vmax ≈ α₀√(gl).
Xem thêm: Tổng hợp công thức Vật lý 12 chi tiết
Lực căng dây của con lắc đơn
Theo phương bán kính hướng vào điểm treo, hợp lực tạo gia tốc hướng tâm:
F − mgcosα = mv²/l.
Do đó:
F = mgcosα + mv²/l.
Nếu con lắc được thả nhẹ từ góc α₀, thay công thức vận tốc vào ta có:
F = mg(3cosα − 2cosα₀).
Tại vị trí cân bằng, lực căng dây lớn nhất:
Fmax = mg(3 − 2cosα₀).
Tại biên, v = 0 nên lực căng nhỏ nhất:
Fmin = mgcosα₀.
Tại biên, vận tốc và gia tốc hướng tâm bằng 0 nhưng gia tốc tiếp tuyến khác 0. Ở vị trí cân bằng, gia tốc tiếp tuyến bằng 0 còn gia tốc hướng tâm đạt giá trị lớn nhất.
Sơ đồ phân tích lực của con lắc đơn tại góc α
Xem thêm: 100 bài tập dao động cơ mới nhất
Dạng 1: Tính chu kỳ, chiều dài hoặc gia tốc trọng trường
Đây là dạng cơ bản nhất. Từ:
T = 2π√(l/g)
có thể biến đổi:
l = gT²/(4π²)
g = 4π²l/T².
Nếu đề cho thời gian t của N dao động thì:
T = t/N.
Ví dụ, con lắc thực hiện 50 dao động trong 100 giây nên T = 2 s. Nếu lấy g = π² m/s² thì l = 1 m.
Sai lầm thường gặp là coi số lần đi qua vị trí cân bằng bằng số dao động. Trong một chu kỳ, vật đi qua vị trí cân bằng hai lần.
Dạng 2: Tính vận tốc, độ cao và năng lượng
Phương pháp nhanh nhất là lập phương trình bảo toàn cơ năng giữa hai vị trí. Nếu vật được thả nhẹ từ α₀, tại vị trí α:
mgl(1 − cosα₀) = (1/2)mv² + mgl(1 − cosα).
Rút gọn m và biến đổi để tìm v. Nếu đề cho độ cao h so với vị trí cân bằng, có thể dùng trực tiếp:
W = mgh + (1/2)mv².
Khối lượng thường bị triệt tiêu khi tìm vận tốc. Vì vậy nếu đề cho m nhưng đáp án vận tốc không phụ thuộc m thì đó không phải dữ kiện bất thường.
Dạng 3: Tính lực căng dây
Quy trình gồm hai bước:
- Dùng bảo toàn cơ năng để tính v tại vị trí đang xét.
- Thay v vào F = mgcosα + mv²/l.
Không nên dùng ngay F = mgcosα vì biểu thức này chỉ đúng tại vị trí có v = 0. Khi vật đang chuyển động, lực căng còn phải tạo gia tốc hướng tâm.
Ví dụ, tại vị trí cân bằng:
F = mg + mvmax²/l.
Vì vậy lực căng ở vị trí thấp nhất lớn hơn trọng lượng của vật.
Dạng 4: Chu kỳ thay đổi theo độ cao, độ sâu hoặc nhiệt độ
Chu kỳ phụ thuộc vào l và g nên khi vị trí hoặc nhiệt độ thay đổi, đồng hồ quả lắc có thể chạy nhanh hay chậm.
Ở độ cao h so với mặt đất, với bán kính Trái Đất R:
gh = g₀[R/(R + h)]².
Nếu chiều dài không đổi:
Th/T₀ = (R + h)/R.
Chu kỳ tăng nên đồng hồ chạy chậm.
Ở độ sâu d, theo mô hình khối lượng riêng Trái Đất đồng đều:
gd = g₀(1 − d/R).
Khi nhiệt độ tăng Δt, dây nở dài:
l = l₀(1 + λΔt),
trong đó λ là hệ số nở dài. Dây dài ra khiến đồng hồ chạy chậm.
Với biến đổi nhỏ, có thể dùng gần đúng:
ΔT/T ≈ (1/2)(Δl/l) − (1/2)(Δg/g).
Dạng 5: Con lắc trong thang máy hoặc chịu ngoại lực
Khi hệ có gia tốc, xác định gia tốc trọng trường hiệu dụng g' rồi dùng T = 2π√(l/g'). Thang máy đi lên nhanh dần đều với gia tốc a có g' = g + a; đi xuống nhanh dần đều có g' = g − a. Nếu ngoại lực nằm ngang, g' là độ lớn của tổng vectơ gia tốc.
Bài cách học Vật lý 12 theo bản chất giúp rèn cách kiểm tra đơn vị và điều kiện áp dụng.
Những lỗi thường gặp khi giải bài con lắc đơn
- Dùng công thức dao động điều hòa khi góc lệch quá lớn.
- Thay góc theo độ vào công thức cần đơn vị radian.
- Nhầm li độ cong s với li độ góc α.
- Cho rằng chu kỳ phụ thuộc khối lượng vật nặng.
- Nhầm độ cao h với chiều dài dây l.
- Bỏ qua thành phần mv²/l khi tính lực căng dây.
- Nhầm gia tốc tiếp tuyến với gia tốc hướng tâm.
- Kết luận đồng hồ chạy nhanh khi chu kỳ tăng; thực tế đồng hồ chạy chậm.
Phương pháp giải nhanh bài con lắc đơn
Khi làm bài, thực hiện theo trình tự:
- Kiểm tra điều kiện góc nhỏ.
- Đổi chiều dài sang mét và góc sang radian khi cần.
- Chọn nhóm công thức chu kỳ, năng lượng hoặc lực căng.
- Với bài vận tốc, ưu tiên bảo toàn cơ năng.
- Với bài lực căng, tính v trước rồi chiếu lực theo phương bán kính.
- Kiểm tra: v bằng 0 ở biên, lớn nhất tại cân bằng.
Lời kết
Các công thức cốt lõi là ω = √(g/l), T = 2π√(l/g), bảo toàn cơ năng và phương trình lực theo phương bán kính. Xác định đúng điều kiện góc nhỏ, mốc thế năng và vị trí đang xét sẽ giúp học sinh xử lý phần lớn bài tập.
Giữ chỉ tiêu sớm
Nhận ngay học bổng lên tới 70% học phí
Câu hỏi thường gặp
Chu kỳ con lắc đơn có phụ thuộc khối lượng không?
Không. Trong mô hình lý tưởng và với dao động nhỏ, chu kỳ chỉ phụ thuộc chiều dài dây l và gia tốc trọng trường g.
Khi nào được coi con lắc đơn dao động điều hòa?
Khi biên độ góc nhỏ, thường lấy không quá khoảng 10°, có thể dùng gần đúng sinα ≈ α với α tính bằng radian.
Lực căng dây lớn nhất ở đâu?
Lực căng dây thường lớn nhất tại vị trí cân bằng vì tại đó tốc độ và gia tốc hướng tâm đạt giá trị lớn nhất.
Vì sao đồng hồ quả lắc chạy chậm khi đưa lên cao?
Khi lên cao, gia tốc trọng trường giảm nên chu kỳ con lắc tăng. Mỗi nhịp kéo dài hơn khiến đồng hồ chạy chậm.
Copy link
Đã sao chép
Tin tức mới nhất
Nhập học liền tay