Cấp số cộng là gì? Công thức, lý thuyết và bài tập 

Cấp số cộng là phần kiến thức trọng tâm trong chương trình giải tích lớp 12 và thường xuyên xuất hiện trong các câu hỏi vận dụng cao của đề thi THPT Quốc Gia. Vì vậy để đạt điểm cao môn Toán các bạn học sinh cần nắm chắc lý thuyết và công thức tính tổng của cấp số cộng. Nhằm giúp các bạn học sinh học tập tốt hơn, BTEC FPT đã tổng hợp lại kiến thức trọng tâm của chuyên đề này và chia sẻ cho các bạn trong bài viết dưới đây. 

Cấp số cộng là gì

Cấp số cộng là gì 

Cấp số cộng là một dãy số hữu hạn hoặc vô hạn, trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tổng của số hạng đứng trước nó với một số không đổi.

Số không đổi này được gọi là công sai của cấp số cộng.

Ví dụ: 

Dãy số 1, 4, 7, 10, 13, ... là một cấp số cộng với công sai d là 3.

Dãy số 2, 5, 8, 11, 14, ... là một cấp số cộng với công sai d là 3.

Lý thuyết Cấp số cộng

1. Tính chất của cấp số cộng

Trong một cấp số cộng, mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là: 

U_k = (U_k-1 + U_k+1)/2 với k ≥ 2

hay 

U_k+1 + U_k-1 = 2U_k

👉 Xem thêm: Đề thi THPT Quốc Gia 2024 Môn Toán mới nhất
👉 Xem thêm: Bộ 20 đề thi thử THPT quốc gia 2024 môn toán (Có Lời Giải)
👉 Xem thêm: Tài liệu ôn thi THPT quốc gia 2024 môn toán
👉 Xem thêm: Bộ đề thi tham khảo THPT quốc gia 2024 môn toán
👉 Xem thêm: Cấu trúc đề thi thpt quốc gia môn toán 2024
👉 Xem thêm: Tổng hợp công thức toán thi thpt quốc gia mới nhất  

2. Các dạng bài tập cấp số cộng 

Dạng bài 1: Xác định cấp số cộng và các yếu tố của cấp số cộng 

Phương pháp giải: 

• Dãy số (U_n) là một cấp số cộng U_n+1 - U_n = d không phụ thuộc vào n và d là công sai
• Ba số a, b, c theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng a + c = 2b
• Để xác định một cấp số cộng, ta cần xác định số hạng đầu và công sai. Do đó, ta thường biểu diễn giả thiết của bài toán qua U1 và d

Ví dụ: Cho cấp số cộng có số hạng thứ 4 là 10 và số hạng thứ 7 là 20. Hãy xác định số hạng đầu và công sai của cấp số cộng đó.

Hướng dẫn giải: 

Theo công thức định nghĩa, ta có:

U4 = U1 + 3d = 10

U7 = U1 + 6d = 20

Từ hai phương trình trên, ta được hệ phương trình sau:

U1 + 3d = 10

U1 + 6d = 20

Giải hệ phương trình trên, ta được:

U1 = 2

d = 2

Vậy, cấp số cộng đó có số hạng đầu là 2 và công sai là 2.

Dạng bài 2: Tìm điều kiện để dãy số lập thành cấp số cộng

Phương pháp giải: 

a, b, c theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng a + c = 2b 

Ví dụ: Xác định x để 3 số: 1 + 2x, 2x² - 1, -2x theo thứ tự lập thành một cấp số cộng? 

Hướng dẫn giải: 

3 số: 1 + 2x, 2x² - 1, -2x theo thứ tự lập thành một cấp số cộng khi và chỉ khi 

2x² - 1 - 1 - 2x = -2x - 2x² + 1 

4x² = 3x = ± 3/2. 

Đăng ký nhận học bổng ngay

• Họ và tên*
• Số điện thoại*
• Năm sinh*
• Cở sở*
  Chọn cở sở*Hà NộiHồ Chí MinhĐà NẵngCần Thơ
• Ngành học
  Chọn ngành họcKỹ thuật phần mềmQuản trị kinh doanhMarketingLogistics - Mua sắm và quản lý cung ứngThiết kế đồ hoạCông nghệ bán dẫnThể thao điện tử Esport ( dự kiến )Chưa xác định ngành học

Các công thức Cấp số cộng

1. Công thức cấp số cộng theo định nghĩa chung

Un = Un-1 + d (n ≥ 2)

• Un là số hạng thứ n
• d là công sai 

2. Công thức tính số hạng tổng quát của cấp số cộng

Un = U1 + d(n - 1)

• Un là số hạng thứ n
• U1 là số hạng đầu tiên
• d là công sai
• n là số thứ tự của số hạng

3. Công thức tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng

• Công thức tính tổng n số hạng đầu (tổng riêng thứ n) thông qua số hạng đầu và số hạng thứ n

Sn = U1 + U2 + … + Un = n(U1+Un)/2 (n ≥ 1)

• Công thức tính tổng n số hạng đầu (tổng riêng thứ n) thông qua số hạng đầu và công sai 

Sn = nU1+ [n(n-1)/2)]d (n ≥ 2) 

• Sn là tổng n số hạng đầu tiên
• U1 là số hạng đầu tiên
• d là công sai
• n là số thứ tự của số hạng

4. Công thức tính số hạng đầu tiên

U1 = Sn - n/2(n - 1)d

• U1 là số hạng đầu tiên
• Sn là tổng n số hạng đầu tiên
• d là công sai
• n là số thứ tự của số hạng

5. Công thức tính công sai

d = Un - U_n-1

• d là công sai
• Un là số hạng thứ n
• U(n-1) là số hạng thứ n - 1

6. Công thức tính số hạng giữa

Um = (U1 + Un)/2

• Um là số hạng giữa
• U1 là số hạng đầu tiên
• Un là số hạng thứ n

Kinh nghiệm làm bài tập Cấp số cộng

1. Nắm chắc lý thuyết cơ bản

Trước hết, các bạn học sinh cần nắm chắc lý thuyết cấp số cộng bao gồm  các khái niệm, tính chất, các công thức tính toán cấp số cộng để có thể áp dụng vào giải bài tập. Để ghi nhớ kiến thức nhanh chóng, hiệu quả các bạn học sinh nên tự xây dựng cho mình sơ đồ tư duy cá nhân cho mỗi bài học. 

2. Luyện tập thường xuyên

Các bạn học sinh nên làm nhiều dạng bài tập cấp số cộng khác nhau, bao gồm cả bài tập trắc nghiệm và bài tập tự luận theo mức độ từ dễ đến khó. Việc luyện tập thường xuyên giúp các bạn làm quen với các dạng câu hỏi và phương pháp giải, từ đó nâng cao kỹ năng và điểm số. 

Bên cạnh đó, các bạn học sinh cần chú ý chọn những nguồn tài liệu tham khảo uy tín, bám sát đề thi THPT Quốc Gia. Có rất nhiều nguồn tài liệu uy tín các bạn có thể tham khảo để luyện giải bài tập như sách giáo khoa, sách bài tập và các loại sách tham khảo được xuất bản bởi Bộ giáo dục và đào tạo, Đại học Quốc Gia Hà Nội,…

3. Sử dụng máy tính cầm tay

Ngoài ra, các bạn học sinh nên học cách giải nhanh các bài tập cấp số cộng bằng máy tính cầm tay để có thể giải quyết các câu hỏi trắc nghiệm một cách nhanh chóng, tiện lợi và chính xác. 

Bài tập cấp số cộng

👉 Xem thêm: 100 bài tập cấp số cộng 

Kinh nghiệm làm bài tập Cấp số cộng

Hy vọng với những kinh nghiệm mà chúng mình đã chia sẻ trên đây sẽ giúp các bạn học sinh có quá trình học tập và ôn thi hiệu quả. BTEC FPT chúc bạn thành công trên con đường học tập.