Thể tích khối đa diện: Công thức và cách tính
Thể tích khối đa diện là chuyên đề quan trọng của hình học không gian lớp 12. Bài toán thường yêu cầu tính thể tích khối chóp, lăng trụ, hình hộp hoặc xác định chiều cao và tỉ số thể tích. Muốn giải đúng, học sinh cần nhận diện đáy, chiều cao và quan hệ hình học.
Khối đa diện và thể tích khối đa diện là gì?
Khối đa diện là phần không gian được giới hạn bởi hữu hạn đa giác phẳng. Các đa giác là mặt; giao tuyến của hai mặt là cạnh và giao điểm các cạnh là đỉnh.
Những khối đa diện thường gặp gồm:
- Khối chóp và khối tứ diện.
- Khối lăng trụ.
- Khối hộp và khối lập phương.
- Khối chóp cụt.
Thể tích biểu thị phần không gian khối chiếm giữ, dùng đơn vị như cm³, dm³ hoặc m³. Mọi độ dài phải được đổi về cùng đơn vị.
Bạn có thể ôn lại khái niệm về điểm, đường, mặt phẳng và các loại khối tại bài hình học không gian lớp 12.
Bảng công thức thể tích khối đa diện cần nhớ
| Loại khối | Công thức thể tích | Ghi chú |
|---|---|---|
| Khối chóp | V = (1/3)Bh | B là diện tích đáy, h là chiều cao |
| Khối lăng trụ | V = Bh | Hai đáy song song và bằng nhau |
| Hình hộp chữ nhật | V = abc | a, b, c là ba kích thước |
| Khối lập phương | V = a³ | a là độ dài cạnh |
| Khối chóp cụt | V = (h/3)(B₁ + B₂ + √(B₁B₂)) | B₁, B₂ là diện tích hai đáy |
| Tứ diện ABCD trong Oxyz | V = (1/6)|AB·(AC × AD)| | Dùng tích hỗn tạp |
| Hình hộp tạo bởi a, b, c | V = |a·(b × c)| | Ba vectơ cùng gốc |
Chiều cao h là khoảng cách vuông góc từ đỉnh đến đáy hoặc giữa hai mặt đáy. Cạnh bên chỉ bằng chiều cao khi vuông góc với đáy.
Công thức thể tích khối chóp
Khối chóp S.A₁A₂…Aₙ có diện tích đáy B và chiều cao h được tính bởi:
V = (1/3)Bh.
Chiều cao là khoảng cách từ đỉnh S đến mặt phẳng đáy. Nếu SH vuông góc với mặt đáy tại H thì h = SH.
Ví dụ, khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = 3 cm, AC = 4 cm và SA vuông góc với đáy, SA = 6 cm.
Diện tích đáy:
B = (1/2).AB.AC = 6 cm².
Thể tích:
V = (1/3).6.6 = 12 cm³.
Không được dùng cạnh bên xiên thay cho chiều cao.
Cách xác định chiều cao của khối chóp
Một số cách xác định chiều cao:
- Nếu SA vuông góc với đáy thì h = SA.
- Với chóp đều, chân đường cao là tâm của đa giác đáy.
- Nếu một mặt bên vuông góc với đáy, đường cao nằm trong mặt bên đó.
- Có thể dùng định lý Pythagore, hệ thức lượng hoặc khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng.
- Trong hệ Oxyz, h được tính bằng khoảng cách từ đỉnh đến phương trình mặt phẳng đáy.
Nên đánh dấu góc vuông và chân đường cao ngay trên hình.
Công thức thể tích khối lăng trụ
Khối lăng trụ có diện tích đáy B và chiều cao h được tính bởi:
V = Bh.
Chiều cao là khoảng cách giữa hai đáy. Với lăng trụ đứng, h bằng cạnh bên; với lăng trụ xiên thì không.
Ví dụ, lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh 4 cm và cạnh bên AA' = 5 cm.
Diện tích đáy:
B = (4²√3)/4 = 4√3 cm².
Thể tích:
V = 4√3.5 = 20√3 cm³.
Thể tích hình hộp chữ nhật và khối lập phương
Hình hộp chữ nhật có ba kích thước a, b, c nên:
V = abc.
Nếu a = b = c, ta có khối lập phương cạnh a:
V = a³.
Ví dụ, một hình hộp chữ nhật dài 6 cm, rộng 4 cm, cao 3 cm có thể tích:
V = 6.4.3 = 72 cm³.
Xem thêm: Tổng hợp công thức Toán 12 chi tiết
Công thức thể tích khối chóp cụt
Khối chóp cụt có hai đáy song song với diện tích B₁, B₂ và chiều cao h. Thể tích được tính bởi:
V = (h/3)(B₁ + B₂ + √(B₁B₂)).
Ví dụ, một khối chóp cụt có diện tích hai đáy lần lượt là 16 cm² và 4 cm², chiều cao 6 cm:
V = (6/3)(16 + 4 + √64) = 2 × 28 = 56 cm³.
Hai đáy của chóp cụt đồng dạng nhưng thường không bằng nhau.
Thể tích tứ diện đều
Tứ diện đều có bốn mặt là các tam giác đều cạnh a. Công thức thể tích là:
V = a³√2/12.
Công thức suy ra từ B = a²√3/4 và h = a√6/3.
Ví dụ, tứ diện đều cạnh 6 cm có:
V = 6³√2/12 = 18√2 cm³.
Tứ diện đều S.ABC: Diện tích đáy và chiều cao
Xem thêm: 30 chuyên đề Toán 12 cần ôn tập
Tính thể tích khối đa diện bằng cách chia khối
Có thể chia một khối phức tạp thành các khối quen thuộc không chồng lấn:
V = V₁ + V₂ + … + Vₙ.
Nếu khối cần tìm là phần còn lại sau khi cắt khỏi một khối lớn:
V = Vlớn − Vbị cắt.
Các khối thành phần phải ghép kín khối ban đầu. Nên chọn cách chia tạo ra đáy và chiều cao dễ tính.
Dạng bài tỉ số thể tích
Với hai khối chóp cùng chiều cao:
V₁/V₂ = B₁/B₂.
Nếu chúng cùng diện tích đáy:
V₁/V₂ = h₁/h₂.
Trong tứ diện S.ABC, nếu M thuộc SA, N thuộc SB và P thuộc SC thì:
V(S.MNP)/V(S.ABC) = (SM/SA)(SN/SB)(SP/SC).
Nếu M, N, P là trung điểm của SA, SB, SC thì tỉ số bằng (1/2)³ = 1/8.
Tính thể tích tứ diện bằng tọa độ Oxyz
Cho bốn điểm A, B, C, D trong không gian. Thể tích tứ diện ABCD là:
V = (1/6)|AB·(AC × AD)|.
Các bước tính:
- Lập ba vectơ AB, AC, AD cùng gốc A.
- Tính tích có hướng AC × AD.
- Tính tích vô hướng với AB.
- Lấy giá trị tuyệt đối rồi chia cho 6.
Nếu tích hỗn tạp bằng 0, bốn điểm đồng phẳng. Phương pháp này phù hợp khi đề cho tọa độ hoặc khó tìm chiều cao.
Bạn có thể kết hợp các công thức trên với chương trình Toán 12 và các mạch kiến thức trọng tâm để phân bổ thời gian ôn hình học phù hợp.
Bài toán thể tích có góc giữa đường và mặt phẳng
Giả sử cạnh bên SA tạo với mặt đáy góc α. Nếu H là hình chiếu của S lên đáy thì tam giác SAH vuông tại H và:
h = SH = SA.sinα.
Nếu biết góc giữa hai mặt phẳng, dựng mặt phẳng vuông góc với giao tuyến để đưa góc nhị diện về góc giữa hai đường. Sau đó dùng lượng giác tìm chiều cao. Phải xác định đúng hình chiếu trước khi dùng sin hoặc cos.
Những lỗi thường gặp khi tính thể tích khối đa diện
- Nhầm công thức khối chóp V = (1/3)Bh với khối lăng trụ V = Bh.
- Dùng cạnh bên xiên làm chiều cao.
- Tính sai diện tích tam giác hoặc đa giác đáy.
- Không đổi các độ dài về cùng đơn vị.
- Ghi đơn vị diện tích thay vì đơn vị thể tích.
- Chia khối nhưng bỏ sót hoặc tính trùng một phần.
- Quên giá trị tuyệt đối trong công thức tích hỗn tạp.
- Dùng sai điều kiện của công thức tỉ số thể tích.
Quy trình tính thể tích nhanh và chính xác
Khi giải bài, có thể thực hiện theo năm bước:
- Nhận diện khối chóp, lăng trụ, hình hộp hay khối ghép.
- Chọn mặt đáy có diện tích dễ tính nhất.
- Xác định chiều cao vuông góc với đáy.
- Tính diện tích đáy rồi áp dụng đúng công thức.
- Kiểm tra đơn vị, dấu căn và độ hợp lý của kết quả.
Nếu chưa tìm được chiều cao, hãy kiểm tra dữ kiện về góc, mặt phẳng vuông góc hoặc tọa độ. Trong trắc nghiệm, tỉ số thể tích giúp giảm phép tính.
Lời kết
Muốn làm tốt bài thể tích khối đa diện, học sinh cần hiểu diện tích đáy và chiều cao. Khối chóp có hệ số 1/3, lăng trụ có V = Bh, còn khối phức tạp có thể chia thành các khối quen thuộc. Hãy vẽ hình rõ ràng, xác định chân đường cao và kiểm tra đơn vị; khi cần, sử dụng tỉ số thể tích hoặc tọa độ.
Giữ chỉ tiêu sớm
Nhận ngay học bổng lên tới 70% học phí
Câu hỏi thường gặp
Công thức thể tích khối chóp và khối lăng trụ khác nhau thế nào?
Khối chóp có V = (1/3)Bh, còn lăng trụ có V = Bh.
Cạnh bên có phải luôn là chiều cao không?
Không. Cạnh bên chỉ là chiều cao khi vuông góc với mặt đáy.
Khi nào nên dùng tỉ số thể tích?
Nên dùng khi các khối có chung chiều cao, chung đáy hoặc các điểm chia nằm trên những cạnh xuất phát từ cùng một đỉnh. Cách này giúp tránh tính trực tiếp nhiều đại lượng.
Đơn vị của thể tích khối đa diện là gì?
Thể tích được ghi bằng đơn vị lập phương như cm³, dm³ hoặc m³. Các kích thước phải được đổi về cùng một đơn vị trước khi tính.
Copy link
Đã sao chép
Tin tức mới nhất
Nhập học liền tay