Phương trình đường thẳng Oxyz là kiến thức quan trọng của hình học tọa độ lớp 12. Học sinh cần nhận diện điểm thuộc đường thẳng, vectơ chỉ phương và quan hệ giữa đường thẳng với mặt phẳng. Bài viết hệ thống công thức, dạng bài và ví dụ cần biết.

Phương trình đường thẳng Oxyz được xác định như thế nào?

Trong không gian Oxyz, một đường thẳng được xác định khi biết:

• Một điểm M₀(x₀; y₀; z₀) thuộc đường thẳng.
• Một vectơ chỉ phương u = (a; b; c), trong đó a, b, c không đồng thời bằng 0.

Mọi vectơ khác 0 cùng phương với u đều có thể làm vectơ chỉ phương của d.

Nếu điểm M(x; y; z) nằm trên d thì vectơ M₀M phải cùng phương với u. Vì vậy tồn tại số thực t sao cho:

M₀M = t.u.

Từ đó, ta xây dựng được phương trình tham số và chính tắc. Bạn có thể ôn lại phần hình học không gian lớp 12 để kết nối đường thẳng với mặt phẳng, mặt cầu.

Phương trình tham số của đường thẳng Oxyz

Đường thẳng d đi qua M₀(x₀; y₀; z₀) và nhận u = (a; b; c) làm vectơ chỉ phương có phương trình tham số:

x = x₀ + at

y = y₀ + bt

z = z₀ + ct, với t thuộc R.

Mỗi giá trị của t xác định một điểm trên đường thẳng; t = 0 cho điểm M₀.

Ví dụ, đường thẳng đi qua A(1; −2; 3) và có vectơ chỉ phương u = (2; 1; −1) được viết:

x = 1 + 2t

y = −2 + t

z = 3 − t.

Chọn t = 1, ta được một điểm khác là B(3; −1; 2).

Phương trình chính tắc của đường thẳng

Khi a, b, c đều khác 0, từ phương trình tham số có thể suy ra phương trình chính tắc:

(x − x₀)/a = (y − y₀)/b = (z − z₀)/c.

Với ví dụ trên, phương trình chính tắc là:

(x − 1)/2 = (y + 2)/1 = (z − 3)/(−1).

Nếu một tọa độ của vectơ chỉ phương bằng 0, không được đặt mẫu bằng 0. Với u = (2; 0; −1), ta viết:

(x − x₀)/2 = (z − z₀)/(−1), y = y₀.

Bảng công thức đường thẳng Oxyz cần nhớ

Dạng 1: Viết đường thẳng qua một điểm và có vectơ chỉ phương

Khi đề cho M₀ và u, thay trực tiếp các tọa độ vào phương trình tham số.

Ví dụ, viết phương trình đường thẳng d qua M(2; 1; −3) và nhận u = (−1; 2; 4) làm vectơ chỉ phương:

x = 2 − t

y = 1 + 2t

z = −3 + 4t.

Có thể dùng −u = (1; −2; −4); phương trình thu được vẫn biểu diễn cùng đường thẳng.

Dạng 2: Viết đường thẳng đi qua hai điểm

Cho hai điểm phân biệt A(xA; yA; zA) và B(xB; yB; zB). Đường thẳng AB nhận:

AB = (xB − xA; yB − yA; zB − zA)

làm vectơ chỉ phương.

Ví dụ, A(1; 0; 2), B(3; −1; 5) cho AB = (2; −1; 3). Phương trình tham số của AB là:

x = 1 + 2t

y = −t

z = 2 + 3t.

Xem thêm: Tổng hợp công thức Toán 12 chi tiết

Dạng 3: Đường thẳng qua một điểm và song song với đường thẳng khác

Nếu d song song với Δ, ta lấy vectơ chỉ phương của Δ làm vectơ chỉ phương của d rồi dùng điểm đã cho để lập phương trình. Muốn hai đường song song phân biệt, điểm của d không được thuộc Δ.

Dạng 4: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Cho mặt phẳng:

(P): Ax + By + Cz + D = 0.

Mặt phẳng có pháp tuyến n = (A; B; C). Đường thẳng vuông góc với (P) nhận n làm vectơ chỉ phương.

Ví dụ, đường thẳng qua M(1; 2; −1) và vuông góc với mặt phẳng 2x − y + 3z + 4 = 0 có phương trình:

x = 1 + 2t

y = 2 − t

z = −1 + 3t.

Dạng 5: Đường thẳng qua một điểm và song song với mặt phẳng

Để đường thẳng có vectơ chỉ phương u song song với mặt phẳng có pháp tuyến n, cần:

u·n = 0.

Điều kiện này chưa xác định duy nhất u, nên đề phải cho thêm dữ kiện. Nếu d còn vuông góc với đường có vectơ v, có thể chọn:

u = n × v.

Đường thẳng song song mặt phẳng và điều kiện vectơ

Xem thêm: 30 chuyên đề Toán 12 cần ôn tập

Dạng 6: Giao tuyến của hai mặt phẳng

Cho hai mặt phẳng cắt nhau, có pháp tuyến nP và nQ. Giao tuyến d nhận:

u = nP × nQ

làm vectơ chỉ phương.

Giải hệ hai phương trình mặt phẳng để tìm điểm chung M₀ rồi lập phương trình tham số. Nếu nP và nQ cùng phương, hai mặt phẳng song song hoặc trùng nhau, không có giao tuyến duy nhất.

Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng

Cho d₁ đi qua M₁, có vectơ chỉ phương u₁ và d₂ đi qua M₂, có vectơ chỉ phương u₂:

• Nếu u₁, u₂ cùng phương, hai đường song song hoặc trùng nhau. Dùng một điểm để phân biệt.
• Nếu u₁, u₂ không cùng phương, giải hệ tìm điểm chung. Có nghiệm thì cắt nhau; vô nghiệm thì chéo nhau.
• Hai đường vuông góc phải cắt nhau và có u₁·u₂ = 0.

Xét vị trí giữa đường thẳng và mặt phẳng

Cho đường thẳng d có vectơ chỉ phương u và mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến n:

• u·n khác 0: d cắt (P) tại một điểm.
• u·n = 0: d song song với hoặc nằm trong (P). Thay một điểm của d vào (P) để phân biệt hai trường hợp.

Bạn nên kết hợp bảng công thức với chương trình Toán 12 và các mạch kiến thức trọng tâm để xây dựng kế hoạch ôn tập phù hợp.

Góc giữa hai đường thẳng

Nếu d₁, d₂ có vectơ chỉ phương u₁, u₂ thì góc giữa hai đường thẳng là góc nhọn hoặc vuông φ thỏa mãn:

cosφ = |u₁·u₂|/(|u₁||u₂|).

Khi u₁·u₂ = 0, hai phương vuông góc; hai đường chỉ vuông góc nếu chúng còn cắt nhau.

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Cho đường thẳng d có vectơ chỉ phương u và mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến n. Góc α giữa d và (P) được tính bởi:

sinα = |u·n|/(|u||n|), với 0° ≤ α ≤ 90°.

Nếu u·n = 0 thì α = 0°. Nếu u cùng phương với n thì α = 90°.

Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng

Cho d đi qua M₀ và có vectơ chỉ phương u. Khoảng cách từ điểm M đến d được tính bằng:

d(M, d) = |M₀M × u|/|u|.

Hãy lập M₀M, tính M₀M × u rồi lấy độ dài chia cho |u|.

Xem thêm: 30 đề trắc nghiệm Toán 12 để luyện tập

Những lỗi thường gặp khi giải phương trình đường thẳng Oxyz

• Nhầm vectơ chỉ phương của đường thẳng với vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.
• Đặt mẫu số bằng 0 trong phương trình chính tắc.
• Tính sai vectơ AB do đảo thứ tự tọa độ.
• Kết luận hai đường vuông góc mà không kiểm tra giao điểm.
• Nhầm hai đường chéo nhau với hai đường song song.
• Quên kiểm tra trường hợp đường thẳng nằm hoàn toàn trong mặt phẳng.
• Chọn ba thành phần của vectơ chỉ phương đồng thời bằng 0.

Quy trình giải nhanh bài toán đường thẳng Oxyz

Khi đọc đề, hãy xác định ngay hai dữ kiện cốt lõi: một điểm thuộc đường thẳng và một vectơ chỉ phương. Sau đó thực hiện:

1. Tìm điểm M₀ thuộc đường thẳng.
2. Xác định vectơ chỉ phương u từ dữ kiện song song, vuông góc, hai điểm hoặc giao tuyến.
3. Viết phương trình tham số.
4. Đổi sang dạng chính tắc nếu đề yêu cầu và các mẫu đều khác 0.
5. Thay lại điểm hoặc kiểm tra quan hệ hình học để xác nhận.

Trong trắc nghiệm, có thể thử điểm và so sánh tỉ lệ vectơ để loại đáp án. Bài tự luận cần nêu nguồn gốc của vectơ chỉ phương.

Lời kết

Phương trình đường thẳng Oxyz được xây dựng từ một điểm và một vectơ chỉ phương. Nắm chắc hai dạng phương trình cùng các điều kiện song song, vuông góc và giao nhau sẽ giúp bạn xử lý phần lớn bài toán. Hãy xác định đúng vectơ và luôn kiểm tra kết quả.

Câu hỏi thường gặp

Một điểm và một vectơ chỉ phương có xác định duy nhất đường thẳng không?

Có. Qua một điểm chỉ có một đường thẳng nhận phương của vectơ khác 0 đã cho.

Khi nào được viết phương trình chính tắc của đường thẳng?

Viết dạng chính tắc khi a, b, c đều khác 0. Nếu có thành phần bằng 0, tách tọa độ tương ứng thành phương trình cố định.

Hai đường thẳng có vectơ chỉ phương vuông góc thì có vuông góc không?

Chưa chắc. Hai đường chỉ vuông góc khi chúng cắt nhau và hai vectơ chỉ phương có tích vô hướng bằng 0.

Làm sao tìm giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng?

Thay x, y, z từ phương trình tham số vào phương trình mặt phẳng để tìm t, rồi suy ra tọa độ giao điểm.