Tiệm cận hàm số là nội dung quan trọng khi khảo sát đồ thị. Học sinh thường phải tìm tiệm cận đứng, ngang, xiên hoặc đếm tổng số đường tiệm cận. Muốn làm chính xác, bạn phải tìm tập xác định, rút gọn và tính giới hạn thay vì chỉ dựa vào mẹo so sánh bậc.

Tiệm cận của đồ thị hàm số là gì?

Tiệm cận mô tả xu hướng của đồ thị khi x tiến đến một giá trị hoặc ra vô cực. Ba loại thường gặp là:

• Tiệm cận đứng có dạng x = a.
• Tiệm cận ngang có dạng y = b.
• Tiệm cận xiên có dạng y = ax + b với a ≠ 0.

Đồ thị có thể có nhiều tiệm cận đứng và các tiệm cận khác nhau ở hai hướng vô cực.

Công thức tìm tiệm cận đứng

Đường thẳng x = a là tiệm cận đứng của đồ thị y = f(x) nếu ít nhất một trong các giới hạn một phía sau bằng vô cực:

• lim khi x → a⁻ của f(x) bằng +∞ hoặc −∞.
• lim khi x → a⁺ của f(x) bằng +∞ hoặc −∞.

Chỉ cần một phía tiến ra vô cực là đủ kết luận. Giá trị a thường là điểm loại khỏi tập xác định hoặc biên miền xác định.

Quy trình tìm tiệm cận đứng

1. Tìm tập xác định.
2. Liệt kê những điểm hữu hạn có khả năng làm hàm không xác định.
3. Rút gọn biểu thức nếu có nhân tử chung.
4. Tính giới hạn một phía tại từng điểm.
5. Kết luận x = a nếu có ít nhất một giới hạn vô cực.

Nếu tử và mẫu cùng bằng 0, biểu thức có thể rút gọn và điểm đó chỉ là điểm khuyết.

Công thức tìm tiệm cận ngang

Đường thẳng y = b là tiệm cận ngang nếu xảy ra ít nhất một trong hai trường hợp:

• lim khi x → +∞ của f(x) = b.
• lim khi x → −∞ của f(x) = b.

Hai hướng vô cực có thể cho hai tiệm cận ngang khác nhau.

Với hàm phân thức hữu tỉ f(x) = P(x)/Q(x), có thể ghi nhớ:

Quy tắc này chỉ áp dụng cho phân thức đa thức đã rút gọn. Với căn, mũ, logarithm hoặc trị tuyệt đối, phải tính giới hạn.

Công thức tìm tiệm cận xiên

Đường thẳng y = ax + b, a ≠ 0, là tiệm cận xiên khi:

lim khi x → ±∞ của [f(x) − (ax + b)] = 0.

Có thể tìm hệ số bằng công thức:

a = lim khi x → ±∞ của f(x)/x,

b = lim khi x → ±∞ của [f(x) − ax].

Các giới hạn phải hữu hạn và a khác 0. Cần xét riêng hai hướng nếu biểu thức có căn hoặc trị tuyệt đối.

Với phân thức hữu tỉ có bậc tử hơn bậc mẫu một đơn vị, phép chia đa thức thường cho tiệm cận xiên. Nếu:

P(x)/Q(x) = ax + b + R(x)/Q(x)

và R(x)/Q(x) → 0 khi x → ±∞ thì y = ax + b là tiệm cận xiên.

Bạn có thể tham khảo 30 chuyên đề Toán 12 để đặt bài tiệm cận trong toàn bộ mạch khảo sát hàm số.

Ví dụ tìm tiệm cận đứng và ngang

Xét hàm số:

f(x) = (2x + 1)/(x − 3).

Tập xác định: R \ {3}.

Khi x → 3, mẫu tiến đến 0 còn tử tiến đến 7, nên:

x = 3 là tiệm cận đứng.

Tử và mẫu cùng bậc nên giới hạn tại ±∞ bằng 2. Do đó:

y = 2 là tiệm cận ngang.

Thật vậy, f(x) = 2 + 7/(x − 3), nên f(x) tiến đến 2 khi |x| tăng.

Xem thêm: Cách lập kế hoạch ôn thi Toán theo mức điểm

Ví dụ tìm tiệm cận xiên

Xét hàm số:

f(x) = (x² + 1)/(x − 1).

Thực hiện phép chia đa thức:

(x² + 1)/(x − 1) = x + 1 + 2/(x − 1).

Vì 2/(x − 1) → 0 khi x → ±∞ nên:

y = x + 1

là tiệm cận xiên của đồ thị.

Ngoài ra, x = 1 là tiệm cận đứng vì tử tại x = 1 khác 0.

Đồ thị hàm phân thức với tiệm cận đứng và tiệm cận xiên

Trường hợp mẫu bằng 0 nhưng không có tiệm cận đứng

Xét hàm số:

f(x) = (x² − 1)/(x − 1), với x ≠ 1.

Ta có:

f(x) = x + 1 với x ≠ 1.

Khi x → 1, f(x) → 2 nên x = 1 không phải tiệm cận đứng. Đồ thị là y = x + 1 bị khuyết điểm (1; 2). Nghiệm của mẫu chỉ là ứng viên; phải tính giới hạn trước khi kết luận.

Bảng tổng hợp cách tìm tiệm cận

Xem thêm: Cách luyện đề THPT để phát hiện lỗ hổng kiến thức

Các dạng bài tiệm cận thường gặp

Dạng 1: Tìm toàn bộ tiệm cận từ công thức

Tìm tập xác định, xét điểm hữu hạn để tìm tiệm cận đứng và xét hai hướng vô cực để tìm tiệm cận ngang hoặc xiên.

Dạng 2: Đếm số đường tiệm cận

Một giá trị a chỉ tạo một đường x = a dù cả hai giới hạn một phía đều vô cực. Hai giới hạn ở ±∞ cùng bằng b cũng chỉ tạo một đường y = b.

Dạng 3: Đọc tiệm cận từ bảng biến thiên

Nếu f(x) → ±∞ khi x tiến đến a, x = a là tiệm cận đứng. Nếu f(x) → b khi x → ±∞, y = b là tiệm cận ngang.

Dạng 4: Tìm tham số để đồ thị có tiệm cận

Với hàm chứa tham số, xác định điểm làm mẫu bằng 0 rồi kiểm tra tử. Tham số có thể làm mất tiệm cận đứng do nhân tử được rút gọn.

Dạng 5: Bài toán giao điểm với tiệm cận

Với tiệm cận xiên, viết f(x) = ax + b + phần dư để phân tích vị trí tương đối của đồ thị và đường thẳng.

Những lỗi dễ mắc khi tìm tiệm cận

Kết luận mẫu bằng 0 là tiệm cận đứng

Nếu tử và mẫu có nhân tử chung, giới hạn có thể hữu hạn. Luôn rút gọn và tính giới hạn.

Chỉ tính giới hạn một hướng ở vô cực

Hàm chứa căn hoặc trị tuyệt đối có thể cho kết quả khác nhau ở +∞ và −∞, nên phải xét cả hai hướng.

Nhầm tiệm cận ngang với đường mà đồ thị không được cắt

Đồ thị có thể cắt tiệm cận ngang hoặc xiên. Tiệm cận mô tả xu hướng giới hạn, không cấm giao nhau.

Tìm đồng thời tiệm cận ngang và xiên ở cùng một hướng

Ở cùng một hướng vô cực, hàm không đồng thời có tiệm cận ngang và tiệm cận xiên.

Quên điều kiện a ≠ 0 của tiệm cận xiên

Nếu tính được a = 0 thì đường y = b là tiệm cận ngang, không phải tiệm cận xiên.

Dùng mẹo bậc cho mọi loại hàm

So sánh bậc chỉ dùng nhanh cho phân thức đa thức. Với hàm khác, phải dựa vào giới hạn. Có thể ôn thêm lý thuyết hàm số mũ và logarithm.

Cách kiểm tra nhanh đáp án

Sau khi tìm được tiệm cận, hãy kiểm tra bốn câu hỏi:

1. Tập xác định đã đúng chưa?
2. Điểm nghi ngờ tiệm cận đứng có giới hạn vô cực không?
3. Đã xét cả x → +∞ và x → −∞ chưa?
4. Với tiệm cận xiên, hiệu f(x) − (ax + b) có tiến về 0 không?

Khi gặp dạng 0/0, căn thức hoặc tham số, nên quay lại định nghĩa bằng giới hạn.

Xem thêm: Cách phân bổ thời gian làm bài thi hiệu quả

Lời kết

Muốn tìm tiệm cận chính xác, hãy bắt đầu từ tập xác định rồi dùng giới hạn. Tiệm cận đứng xuất hiện khi hàm tiến ra vô cực tại điểm hữu hạn; tiệm cận ngang và xiên mô tả xu hướng khi x ra vô cực. Đừng coi mọi nghiệm của mẫu là tiệm cận đứng hoặc bỏ qua sự khác nhau giữa +∞ và −∞.

Câu hỏi thường gặp

Một hàm số có thể có bao nhiêu tiệm cận đứng?

Hàm số có thể có nhiều tiệm cận đứng, tương ứng với các điểm hữu hạn mà ít nhất một giới hạn một phía của hàm tiến ra vô cực.

Đồ thị có được cắt tiệm cận ngang không?

Có. Đồ thị có thể cắt tiệm cận ngang tại một hoặc nhiều điểm hữu hạn. Tiệm cận chỉ mô tả xu hướng của đồ thị khi x tiến ra vô cực.

Khi nào phân thức có tiệm cận xiên?

Với phân thức đa thức đã rút gọn, trường hợp thường gặp là bậc tử lớn hơn bậc mẫu đúng một đơn vị. Chia đa thức để xác định phương trình đường tiệm cận.

Mẫu số bằng 0 có luôn tạo tiệm cận đứng không?

Không. Nếu nhân tử gây mẫu bằng 0 được rút gọn và giới hạn tại điểm đó hữu hạn, đồ thị chỉ có điểm khuyết chứ không có tiệm cận đứng.