Số phức là chuyên đề quan trọng của Toán THPT, giúp giải những phương trình không có nghiệm thực. Nội dung thường gặp gồm phần thực, phần ảo, phép toán, môđun, số phức liên hợp, phương trình và biểu diễn hình học. Các lỗi phổ biến là nhầm i², sai dấu khi nhân hoặc quên liên hợp khi chia.

Số phức là gì?

Một số phức có dạng:

z = a + bi,

trong đó a, b là các số thực và i là đơn vị ảo thỏa mãn:

i² = −1.

Với z = a + bi:

• Phần thực của z là Re(z) = a.
• Phần ảo của z là Im(z) = b.

Phần ảo là b, không phải bi. Hai số phức z₁ = a + bi và z₂ = c + di bằng nhau khi và chỉ khi a = c và b = d.

Nếu b = 0, z là số thực; nếu a = 0, z = bi là số thuần ảo.

Các công thức số phức cần nhớ

Cho z₁ = a + bi và z₂ = c + di.

Khi chia, nhân cả tử và mẫu với liên hợp của mẫu để mẫu trở thành c² + d².

Bạn có thể kết hợp bảng trên với tổng hợp công thức Toán 12 để xây dựng một trang ghi nhớ theo từng chuyên đề.

Lũy thừa của đơn vị ảo i

Các lũy thừa của i lặp lại theo chu kỳ 4:

• i⁰ = 1.
• i¹ = i.
• i² = −1.
• i³ = −i.
• i⁴ = 1.

Muốn tính iⁿ, hãy chia n cho 4 và xét số dư:

Ví dụ, 2026 chia 4 dư 2 nên i²⁰²⁶ = −1.

Số phức liên hợp và môđun

Với z = a + bi, số phức liên hợp là z̄ = a − bi. Một số tính chất quan trọng:

• z + z̄ = 2a = 2Re(z).
• z − z̄ = 2bi.
• zz̄ = |z|².
• |z̄| = |z|.
• Liên hợp của tổng, hiệu, tích bằng tổng, hiệu, tích các liên hợp tương ứng.

Môđun |z| là khoảng cách từ điểm biểu diễn z đến gốc tọa độ, luôn không âm và bằng 0 khi z = 0.

Một số bất đẳng thức thường dùng:

• |z₁z₂| = |z₁||z₂|.
• |z₁/z₂| = |z₁|/|z₂| với z₂ ≠ 0.
• |z₁ + z₂| ≤ |z₁| + |z₂|.

Phương pháp thực hiện phép toán số phức

Cộng và trừ

Gom riêng phần thực với phần thực, phần ảo với phần ảo.

Ví dụ:

(2 + 3i) − (1 − 4i) = 1 + 7i.

Nhân số phức

Nhân như hai nhị thức rồi thay i² = −1.

(2 + 3i)(1 − i) = 2 − 2i + 3i − 3i² = 5 + i.

Chia số phức

Ví dụ:

(1 + 2i)/(1 − i).

Nhân tử và mẫu với 1 + i:

[(1 + 2i)(1 + i)]/[(1 − i)(1 + i)] = (−1 + 3i)/2.

Kết quả ở dạng đại số là −1/2 + (3/2)i.

Xem thêm: Cách lập kế hoạch ôn thi Toán theo mức điểm

Giải phương trình bậc hai trên tập số phức

Xét phương trình:

az² + bz + c = 0, a ≠ 0,

với các hệ số thực. Tính biệt thức:

Δ = b² − 4ac.

• Nếu Δ ≥ 0, phương trình có nghiệm thực như đã học.
• Nếu Δ < 0, đặt √Δ = i√(−Δ), rồi dùng công thức nghiệm.

Ví dụ, giải phương trình:

z² − 2z + 5 = 0.

Ta có Δ = (−2)² − 4.1.5 = −16. Vì √Δ = 4i nên:

z = (2 ± 4i)/2 = 1 ± 2i.

Với phương trình bậc hai hệ số thực, hai nghiệm không thực là một cặp liên hợp.

Hai nghiệm số phức đối xứng qua trục thực

Biểu diễn hình học của số phức

Số phức z = a + bi được biểu diễn bởi điểm M(a; b) trên mặt phẳng tọa độ:

• Trục Ox là trục thực.
• Trục Oy là trục ảo.
• |z| = OM = √(a² + b²).

Khoảng cách giữa hai điểm biểu diễn z₁, z₂ bằng |z₁ − z₂|. Nhờ đó, điều kiện số phức có thể chuyển thành bài toán hình học.

Với bài quỹ tích, đặt z = x + yi, chuyển về phương trình theo x, y rồi nhận dạng hình.

Các dạng bài số phức thường gặp

Dạng 1: Xác định phần thực và phần ảo

Đưa về dạng a + bi rồi đọc Re(z) = a, Im(z) = b.

Dạng 2: Thực hiện phép toán

Đưa kết quả về dạng a + bi; khi chia, kiểm tra mẫu khác 0 và nhân liên hợp.

Dạng 3: Tìm số phức thỏa mãn phương trình

Đặt z = x + yi, thay vào phương trình rồi so sánh phần thực và phần ảo. Ta thu được hệ phương trình theo x, y.

Ví dụ, nếu z + z̄ = 6 và z − z̄ = 4i thì 2x = 6, 2yi = 4i. Suy ra x = 3, y = 2 và z = 3 + 2i.

Dạng 4: Bài toán môđun

Thay z = x + yi và dùng |z| = √(x² + y²). Bài tối ưu có thể chuyển về khoảng cách hình học.

Dạng 5: Quỹ tích điểm biểu diễn

Chuyển điều kiện chứa môđun thành khoảng cách. Chẳng hạn |z − (1 + 2i)| = 3 là đường tròn tâm I(1; 2), bán kính 3.

Dạng 6: Phương trình bậc hai và nghiệm liên hợp

Tính Δ và viết nghiệm ở dạng a + bi. Nếu hệ số thực, có thể suy ra nghiệm liên hợp còn lại.

Xem thêm: Cách luyện đề THPT để phát hiện lỗ hổng kiến thức

Những lỗi dễ mắc khi giải bài số phức

• Nhớ sai i² = −1 thành i² = 1.
• Ghi phần ảo của a + bi là bi thay vì b.
• Nhân hai số phức nhưng không thay i² bằng −1.
• Chia số phức mà không nhân liên hợp của mẫu.
• Nhầm z + z̄ = 2a với z − z̄ = 2bi.
• Tính môđun thành a² + b² thay vì √(a² + b²).
• Quên rằng môđun luôn không âm.
• Nhầm tọa độ điểm biểu diễn a + bi thành (b; a).
• Giải phương trình Δ < 0 nhưng viết √(−k) = −√k thay vì i√k.
• Dùng máy tính cho kết quả nhưng không đưa về đúng dạng đề yêu cầu.

Hãy làm lại câu sai sau vài ngày và kết hợp tài liệu ôn thi THPT môn Toán với sổ công thức cá nhân.

Cách học số phức hiệu quả

Hãy bắt đầu bằng dạng a + bi, thuộc chu kỳ lũy thừa của i và luyện các phép toán. Sau đó chuyển sang liên hợp, môđun, phương trình rồi mới học quỹ tích và bài tối ưu hình học.

Mỗi khi biến đổi, nên giữ phần thực và phần ảo thành hai nhóm rõ ràng. Với bài quỹ tích, hãy vẽ hình sau khi chuyển điều kiện sang khoảng cách. Với bài trắc nghiệm, có thể kiểm tra nhanh bằng máy tính nhưng vẫn cần hiểu phương pháp để tránh nhập sai.

Xem thêm: Cách phân bổ thời gian làm bài thi hiệu quả

Lời kết

Muốn giải tốt bài số phức, học sinh cần nắm chắc i² = −1, các phép toán, số phức liên hợp và môđun. Khi gặp phương trình hoặc điều kiện phức tạp, hãy đưa biểu thức về dạng a + bi rồi so sánh phần thực, phần ảo.

Với bài hình học, hãy nhớ số phức z = a + bi tương ứng điểm M(a; b), còn môđun biểu thị khoảng cách. Sự kết nối giữa đại số và hình học giúp nhiều bài quỹ tích, giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trở nên trực quan hơn.

Câu hỏi thường gặp

Phần ảo của số phức z = a + bi là b hay bi?

Phần ảo là số thực b. Biểu thức bi được gọi là phần chứa đơn vị ảo, nhưng Im(z) = b.

Môđun của số phức có thể âm không?

Không. Môđun |z| = √(a² + b²) luôn không âm và chỉ bằng 0 khi z = 0.

Vì sao phải nhân liên hợp khi chia số phức?

Nhân với liên hợp của mẫu giúp mẫu trở thành tổng bình phương, tức một số thực. Nhờ đó, thương được đưa về dạng đại số a + bi.

Hai nghiệm phức của phương trình bậc hai có luôn liên hợp không?

Nếu phương trình bậc hai có hệ số thực và có hai nghiệm không thực thì hai nghiệm là một cặp liên hợp. Với hệ số phức, kết luận này không nhất thiết đúng.