Dao động điều hòa: Phương trình và đại lượng đặc trưng
Dao động điều hòa là nội dung nền tảng của Vật lý 12. Học sinh cần đọc phương trình, xác định biên độ, chu kỳ, tần số, pha và mối quan hệ giữa li độ, vận tốc, gia tốc. Hiểu từng đại lượng sẽ giúp bạn xử lý cả câu hỏi lý thuyết, đồ thị và tính toán.
Dao động điều hòa là gì?
Dao động điều hòa có li độ biến thiên theo hàm sin hoặc cos và có thể xem là hình chiếu của chuyển động tròn đều lên một đường kính.
Phương trình thường dùng là:
x = A cos(ωt + φ).
Trong đó:
- x là li độ tại thời điểm t.
- A là biên độ dao động.
- ω là tần số góc.
- φ là pha ban đầu.
- ωt + φ là pha dao động tại thời điểm t.
Li độ x có thể dương, âm hoặc bằng 0; biên độ A luôn dương. Xem thêm dao động cơ học và các công thức liên quan.
Bảng công thức dao động điều hòa cần nhớ
| Đại lượng | Công thức | Ghi chú |
|---|---|---|
| Li độ | x = A cos(ωt + φ) | −A ≤ x ≤ A |
| Chu kỳ | T = 2π/ω | Đơn vị giây |
| Tần số | f = 1/T = ω/(2π) | Đơn vị hertz |
| Vận tốc | v = −ωA sin(ωt + φ) | v vuông pha với x |
| Tốc độ cực đại | vmax = ωA | Tại vị trí cân bằng |
| Gia tốc | a = −ω²x | a ngược pha với x |
| Độ lớn gia tốc cực đại | amax = ω²A | Tại hai vị trí biên |
| Hệ thức độc lập thời gian | v² = ω²(A² − x²) | Liên hệ x và v |
| Lực kéo về | F = −mω²x | Luôn hướng về vị trí cân bằng |
| Cơ năng | W = (1/2)mω²A² | Không đổi nếu bỏ qua ma sát |
Phải thống nhất đơn vị trước khi thay số. Nếu A tính bằng mét thì v dùng m/s và a dùng m/s².
Biên độ dao động A
Biên độ là độ lớn li độ cực đại:
A = |x|max.
Vật chuyển động từ −A đến A nên chiều dài quỹ đạo là 2A.
Biên độ khác quãng đường. Sau một chu kỳ, vật trở lại trạng thái ban đầu nhưng tổng quãng đường đã đi là:
s = 4A.
Chu kỳ, tần số và tần số góc
Chu kỳ T là thời gian thực hiện một dao động; tần số f là số dao động trong một giây:
T = 1/f = 2π/ω
và:
ω = 2πf.
Tần số f dùng Hz, còn tần số góc ω dùng rad/s.
Ví dụ, nếu ω = 5π rad/s thì:
T = 2π/(5π) = 0,4 s
và:
f = 1/T = 2,5 Hz.
Pha dao động và pha ban đầu
Pha dao động tại thời điểm t là:
θ = ωt + φ.
Pha xác định cả vị trí và chiều chuyển động; chỉ biết x chưa đủ xác định trạng thái.
Pha ban đầu φ là pha tại t = 0. Khi đó:
x₀ = A cosφ
và:
v₀ = −ωA sinφ.
Phải kết hợp dấu của x₀ và v₀ để chọn đúng góc phần tư của φ.
Cách đọc phương trình dao động điều hòa
Xét phương trình:
x = 4 cos(5πt + π/3) cm.
Ta đọc được:
- Biên độ A = 4 cm.
- Tần số góc ω = 5π rad/s.
- Pha ban đầu φ = π/3 rad.
- Chu kỳ T = 0,4 s.
- Tần số f = 2,5 Hz.
Tại t = 0:
x₀ = 4 cos(π/3) = 2 cm.
Vận tốc ban đầu:
v₀ = −5π.4.sin(π/3) = −10π√3 cm/s.
Dấu âm của v₀ cho biết vật đang chuyển động theo chiều âm tại thời điểm ban đầu.
Xem thêm: Tổng hợp công thức Vật lý 12 chi tiết
Vận tốc trong dao động điều hòa
Lấy đạo hàm li độ theo thời gian:
v = x' = −ωA sin(ωt + φ).
Chiều chuyển động được xác định bởi dấu vận tốc:
- v > 0: vật chuyển động theo chiều dương.
- v < 0: vật chuyển động theo chiều âm.
- v = 0: vật ở một trong hai vị trí biên.
Tốc độ lớn nhất khi vật qua vị trí cân bằng x = 0:
vmax = ωA.
Tại hai biên, v = 0. Với ví dụ trên:
vmax = 5π.4 = 20π cm/s.
Gia tốc trong dao động điều hòa
Gia tốc là đạo hàm của vận tốc:
a = v' = −ω²A cos(ωt + φ) = −ω²x.
Dấu trừ cho thấy gia tốc hướng về vị trí cân bằng:
- Khi x > 0 thì a < 0.
- Khi x < 0 thì a > 0.
- Khi x = 0 thì a = 0.
Tại vị trí biên:
amax = ω²A.
Với phương trình trên:
amax = (5π)².4 = 100π² cm/s².
Trục dao động và các đại lượng đặc trưng
Mối quan hệ giữa li độ và vận tốc
Từ hai phương trình x và v, loại bỏ thời gian ta được:
v² = ω²(A² − x²).
Suy ra:
A² = x² + v²/ω².
Công thức dùng khi đề cho x và v tại cùng thời điểm nhưng không cho pha.
Ví dụ, vật có ω = 4 rad/s, tại một thời điểm x = 3 cm và |v| = 16 cm/s. Khi đó:
A² = 3² + 16²/4² = 9 + 16 = 25
nên A = 5 cm.
Cần dấu của v để xác định chiều chuyển động.
Quan hệ pha giữa x, v và a
Viết các đại lượng dưới dạng cos:
x = A cosθ
v = ωA cos(θ + π/2)
a = ω²A cos(θ + π).
Do đó:
- Vận tốc sớm pha π/2 so với li độ.
- Gia tốc ngược pha với li độ.
- Gia tốc sớm pha π/2 so với vận tốc.
Lực kéo về
Theo định luật II Newton:
F = ma = −mω²x.
Lực kéo về tỉ lệ với |x| và hướng về vị trí cân bằng. Tại hai biên:
Fmax = mω²A.
Với con lắc lò xo, ω² = k/m nên:
F = −kx.
Năng lượng trong dao động điều hòa
Khi bỏ qua ma sát, cơ năng bảo toàn:
W = (1/2)mω²A².
Thế năng và động năng là:
Wt = (1/2)mω²x²
Wđ = (1/2)mv² = (1/2)mω²(A² − x²).
Tại vị trí cân bằng, động năng cực đại. Tại hai biên, động năng bằng 0 và thế năng bằng cơ năng.
Khi Wđ = Wt, ta có:
|x| = A/√2.
Bạn có thể tham khảo cách học Vật lý 12 theo bản chất để hiểu mối liên hệ giữa các đại lượng.
Xác định phương trình từ điều kiện ban đầu
Muốn lập phương trình, cần tìm A, ω và φ.
Nếu biết x₀, v₀ và ω:
A = √(x₀² + v₀²/ω²).
Sau đó dùng:
cosφ = x₀/A
sinφ = −v₀/(ωA)
để chọn đúng góc phần tư của φ.
Nếu biết trạng thái tại t₁, tìm θ₁ = ωt₁ + φ rồi suy ra φ. Pha khác nhau một bội 2π biểu diễn cùng trạng thái.
Thời gian và quãng đường trong dao động điều hòa
Trong khoảng thời gian Δt, độ biến thiên pha là:
Δθ = ωΔt.
Một số mốc cần nhớ:
- Từ vị trí cân bằng đến biên gần nhất: T/4.
- Từ biên này đến biên kia: T/2.
- Trở lại trạng thái ban đầu: T.
- Quãng đường trong một chu kỳ: 4A.
Với thời gian không tròn chu kỳ, phải xác định vị trí và chiều chuyển động ở hai đầu khoảng.
Những lỗi thường gặp khi giải bài dao động điều hòa
- Nhầm biên độ A với chiều dài quỹ đạo 2A.
- Nhầm ω với f hoặc T.
- Bỏ dấu âm trong công thức vận tốc và gia tốc.
- Chọn sai pha ban đầu vì không xét dấu vận tốc.
- Cho rằng tốc độ cực đại tại vị trí biên.
- Nhầm độ lớn gia tốc cực đại với giá trị đại số của gia tốc.
- Dùng đơn vị cm trong công thức yêu cầu hệ SI mà không đổi sang mét.
- Áp dụng quãng đường 4A cho khoảng thời gian không phải một chu kỳ nguyên.
Xem thêm: 30 đề thi thử Vật lý 12 để luyện tập
Quy trình giải nhanh bài dao động điều hòa
Khi đọc đề, hãy thực hiện theo trình tự:
- Ghi phương trình chuẩn x = A cos(ωt + φ).
- Xác định A, ω, φ và đơn vị.
- Tính T, f nếu cần.
- Chọn công thức theo đại lượng đề hỏi.
- Xét dấu để xác định chiều chuyển động.
- Kiểm tra giới hạn |x| ≤ A, |v| ≤ ωA và |a| ≤ ω²A.
Lời kết
Phương trình x = A cos(ωt + φ) chứa thông tin về một dao động điều hòa. Từ A, ω và φ, có thể suy ra chu kỳ, tần số, vận tốc, gia tốc, lực và năng lượng. Hãy nhớ: vật nhanh nhất tại vị trí cân bằng, dừng tức thời ở hai biên và gia tốc luôn hướng về vị trí cân bằng.
Giữ chỉ tiêu sớm
Nhận ngay học bổng lên tới 70% học phí
Câu hỏi thường gặp
Biên độ dao động có thể mang giá trị âm không?
Không. Biên độ A luôn dương; trạng thái ban đầu được thể hiện qua pha φ.
Khi nào vận tốc của vật đạt độ lớn cực đại?
Khi vật qua vị trí cân bằng x = 0, với vmax = ωA.
Gia tốc của vật bằng 0 ở đâu?
Gia tốc bằng 0 tại vị trí cân bằng và có độ lớn cực đại ở hai biên.
Pha ban đầu được xác định bằng cách nào?
Dùng đồng thời x₀ = A cosφ và v₀ = −ωA sinφ để xác định sin, cos và chọn đúng góc phần tư của φ.
Copy link
Đã sao chép
Tin tức mới nhất
Nhập học liền tay