Số phức lớp 12: Công thức, lý thuyết và bài tập

Số phức là một trong những phần kiến thức trọng tâm trong chương trình toán lớp 12 và chiếm nhiều điểm số trong kỳ thi THPT Quốc gia. Đây là chuyên đề không quá khó nhưng cần học sinh nắm chắc lý thuyết và luyện tập thường xuyên. Để giúp các bạn học sinh học tốt phần này, chúng mình đã tổng hợp lại bảng công thức số phức và kinh nghiệm học số phức lớp 12 trong bài viết dưới đây. 

Số phức là gì

Số phức là gì 

Số phức (dạng đại số) sẽ có dạng: z = a + bi , trong đó a, b là các số nguyên, a được gọi là phần thực, b được gọi là phần ảo. Và i được xem là đơn vị ảo, qui ước i₂ = -1

Tập hợp số phức được kí hiệu là C.

Nếu z là số thực thì phần ảo b = 0, ngược lại, nếu z là số thuần ảo thì phần thực của z là a = 0.

Xét hai số phức z = a + bi và z' = a' + b'i , đối với số phức, ta chỉ xét xem hai số phức có bằng nhau hay không. Điều kiện 2 số phức bằng nhau z = z' khi và chỉ khi a = a', b = b'.

Chú ý:

- Mỗi số thực là số phức có phần ảo bằng 0. Ta có R⊂C

- Số phức bi (b∊R) là số thuần ảo (phần thực bằng 0)

- Số i được gọi là đơn vị ảo

- Số phức viết dưới dạng z = a+bi (a,b ∊ R), gọi là dạng đại số của số phức

👉 Xem thêm: Đề thi THPT Quốc Gia 2024 Môn Toán mới nhất
👉 Xem thêm: Bộ 20 đề thi thử THPT quốc gia 2024 môn toán (Có Lời Giải)
👉 Xem thêm: Tài liệu ôn thi THPT quốc gia 2024 môn toán
👉 Xem thêm: Bộ đề thi tham khảo THPT quốc gia 2024 môn toán
👉 Xem thêm: Cấu trúc đề thi thpt quốc gia môn toán 2024
👉 Xem thêm: Tổng hợp công thức toán thi thpt quốc gia mới nhất  

Lý thuyết số phức lớp 12

1. Biểu diễn hình học của số phức

Cho một số phức xác định z = a+bi (với a, b là các số thực). Xét trong mặt phẳng phức Oxy, z sẽ được biểu diễn dưới dạng điểm M (a;b) hoặc bởi vectơ u = (a;b). Một điểm cần lưu ý ở đây đó chính là ở mặt phẳng phức, Ox sẽ được gọi là trục thực và Oy sẽ được gọi là trục ảo. 

Biểu diễn hình học của số phức

2. Modun của số phức 

Mô đun của một số phức là khoảng cách từ số phức đó đến gốc tọa độ trong mặt phẳng phức. Nó cũng được gọi là giá trị tuyệt đối của số phức.

Cho một số phức z=a+bi, với a và b là phần thực và phần ảo của số phức đó, môđun của z, ký hiệu là ∣z∣, được xác định bởi công thức sau:

∣z∣ = √(a²+b²)

3. Số phức liên hợp

Số phức liên hợp của số phức z = a+bi và z (có gạch ngang trên đầu) =a-bi 

4. Các phép tính số phức 

Các phép tính với số phức bao gồm cộng, trừ, nhân, chia. Dưới đây là cách thực hiện các phép tính này:

• Cộng và trừ:

Cho hai số phức z₁ = a₁+b₁i và z₂ = a₂+b₂i, ta có:

Cộng: z₁ + z₂ = (a₁+a₂) + (b₁+b₂)i

Trừ: z₁ - z₂ = (a₁ - a₂) + (b₁ - b₂)i

• Nhân: 

Cho hai số phức z₁ = a₁+b₁i và z₂ = a₂+b₂i, ta có:

z₁ x z₂ = (a₁a₂ - b₁b₂) + (a₁b₂ + a₂b₁)i

• Chia: Cho hai số phức z₁ = a₁+b₁i và z₂ = a₂+b₂i (trừ số phức thứ hai khác không), ta có:

z₁/z₂ = (a₁a₂ + b₁b₂)/a₂² + b₂² + (a₂b₁-a₁b₂)/(a₂² + b₂²) i 

Đăng ký nhận học bổng ngay

• Họ và tên*
• Số điện thoại*
• Năm sinh*
• Cở sở*
  Chọn cở sở*Hà NộiHồ Chí MinhĐà NẵngCần Thơ
• Ngành học
  Chọn ngành họcKỹ thuật phần mềmQuản trị kinh doanhMarketingLogistics - Mua sắm và quản lý cung ứngThiết kế đồ hoạCông nghệ bán dẫnThể thao điện tử Esport ( dự kiến )Chưa xác định ngành học

5. Các dạng bài tập số phức thường gặp

Dạng bài 1: Dạng đại số của số phức và các phép toán trên số phức

• Bài toán quy về giải phương trình và hệ phương trình nghiệm thực.
• Xác định các yếu tố cơ bản của số phức qua các phép toán.
• Chuẩn hóa số phức.

Dạng bài 2: Biểu diễn hình học của số phức và bài toán liên quan

• Tập hợp điểm của số phức là đường thẳng và các bài toán liên quan.
• Tập hợp điểm của số phức là đường tròn, hình tròn, hình vành khăn.
• Tập hợp điểm của số phức là elip.
• Bài toán liên quan đến giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.
• Sử dụng bình phương vô hướng.
• Sử dụng hình chiếu và tương giao.

Dạng bài 3: Phương trình bậc 2 trên tập số phức

• Căn bậc hai của số phức.
• Phương trình bậc hai với hệ số phức.
• Tìm các thuộc tính của số phức thỏa mãn điều kiện K.
• Phương trình bậc hai và bậc cao trong số phức.
• Dạng lượng giác của số phức.

Các công thức số phức 12

Các bạn học sinh có thể tham khảo sơ đồ tư duy công thức số phức dưới đây: 

Các công thức số phức 12

Kinh nghiệm làm bài tập số phức lớp 12

1. Nắm chắc lý thuyết

Trước hết, các bạn học sinh cần nắm chắc lý thuyết số phức bao gồm khái niệm, tính chất, các công thức tính toán số phức để có thể áp dụng vào giải bài tập. Để ghi nhớ kiến thức nhanh chóng, hiệu quả các bạn học sinh nên tự xây dựng cho mình sơ đồ tư duy cá nhân cho mỗi bài học. 

2. Luyện tập thường xuyên

Các bạn học sinh nên làm nhiều dạng bài tập khác nhau, bao gồm cả bài tập trắc nghiệm và bài tập tự luận có mức độ từ dễ đến khó. Việc luyện tập thường xuyên giúp các bạn làm quen với các dạng câu hỏi và phương pháp giải, từ đó nâng cao kỹ năng và điểm số. 

Bên cạnh đó, các bạn học sinh cần chú ý chọn những nguồn tài liệu tham khảo uy tín, bám sát đề thi THPT Quốc Gia. Có rất nhiều nguồn tài liệu uy tín các bạn có thể tham khảo để luyện giải bài tập như sách giáo khoa, sách bài tập và các loại sách tham khảo được xuất bản bởi Bộ giáo dục và đào tạo, Đại học Quốc Gia Hà Nội,…

3. Sử dụng máy tính cầm tay

Ngoài ra, các bạn học sinh nên học cách giải nhanh các bài tập số phức bằng máy tính cầm tay để có thể giải quyết các bài tập trắc nghiệm một cách nhanh chóng, tiện lợi và có kết quả chính xác. 

Bài tập số phức lớp 12

👉 Xem thêm: Số phức lớp 12: Công thức, lý thuyết và bài tập 

Kinh nghiệm làm bài tập số phức lớp 12

Hy vọng với những kinh nghiệm mà chúng mình đã chia sẻ trên đây sẽ giúp các bạn học sinh có quá trình học tập và ôn thi số phức lớp 12 hiệu quả. BTEC FPT chúc bạn thành công trên con đường học tập.