Nguyên hàm lớp 12: Công thức, lý thuyết và bài tập

Nguyên hàm là một trong những phần kiến thức trọng tâm trong chương trình toán 12 và chiếm nhiều điểm số trong kỳ thi THPT Quốc gia. Đây là chuyên đề khó cần học sinh nắm chắc và luyện tập thường xuyên. Để giúp các bạn học sinh học tốt phần này, chúng mình đã tổng hợp lại kiến thức lý thuyết, bảng công thức nguyên hàm và kinh nghiệm học nguyên hàm lớp 12 trong bài viết dưới đây. 

Nguyên hàm là gì

Nguyên hàm là gì 

Kí hiệu K là khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng của R. Cho hàm số f(x) xác định trên K.

Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f (x) trên K nếu F′(x) = f(x) với mọi x∈K. 

Ví dụ 1: Tính nguyên hàm của hàm số f(x) = 3x^2.

Ta áp dụng quy tắc tích phân của hàm số mũ:

∫3x^2 dx = (3/3)x^3 + C = x^3 + C, với C là hằng số tích phân.

Vậy, nguyên hàm của hàm số f(x) = 3x^2 là F(x) = x^3 + C.

Ví dụ 2: Tính nguyên hàm của hàm số g(x) = 2cos(x).

Ta sử dụng quy tắc tích phân của hàm số tỷ lệ: 

∫2cos(x) dx = 2∫cos(x) dx.

Hàm số nguyên hàm của cos(x) là sin(x), nên:

2∫cos(x) dx = 2sin(x) + C, với C là hằng số tích phân.

Vậy, nguyên hàm của hàm số g(x) = 2cos(x) là G(x) = 2sin(x) + C.

Ví dụ 3: Tính nguyên hàm của hàm số h(x) = e^x.

Hàm số nguyên hàm của e^x là chính nó, nên:

∫e^x dx = e^x + C, với C là hằng số tích phân.

Vậy, nguyên hàm của hàm số h(x) = e^x là H(x) = e^x + C.

Lý thuyết nguyên hàm lớp 12

1. Tính chất

Dưới đây là 3 tính chất phổ biến của nguyên hàm Toán 12:

Tính chất 1: ∫f(x)dx = F(x)+C, C∈R.

Tính chất 2: ∫kf(x)dx = k∫f(x)dx(với k là hằng số khác 0)

Tính chất 3: ∫(f(x) ± g(x)) = ∫f(x)dx ± ∫g(x)dx

2. Định lý nguyên hàm

Nguyên hàm có 2 định lý cơ bản như sau:

• Định lý 1: Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số G(x) = F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K.
• Định lý 2: Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x) + C, với C là một hằng số. Do đó F(x) + C, C ∈ R là họ tất cả các nguyên hàm của f(x) trên K. Ký hiệu ∫f(x)dx = F(x) + C.

3. Sự tồn tại của nguyên hàm

Định lí: Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.

4. Các dạng bài tập nguyên hàm thường gặp

Các bài tập nguyên hàm được phân chia thành 5 dạng toán như sau:

Dạng toán 1. Tìm nguyên hàm bằng bảng nguyên hàm.

• Áp dụng bảng nguyên hàm (không có điều kiện).
• Áp dụng bảng nguyên hàm tìm nguyên hàm có điều kiện.

Dạng toán 2. Tìm nguyên hàm theo phương pháp vi phân.

• Tìm nguyên hàm theo phương pháp vi phân (không có điều kiện).
• Tìm nguyên hàm theo phương pháp vi phân (có điều kiện).

Dạng toán 3. Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến.

• Tìm nguyên hàm theo phương pháp đổi biến số (không có điều kiện).
• Tìm nguyên hàm theo phương pháp đổi biến số (có điều kiện).

Dạng toán 4. Tìm nguyên hàm bằng phương pháp từng phần.

• Tìm nguyên hàm bằng phương pháp từng phần (không có điều kiện).
• Tìm nguyên hàm bằng phương pháp từng phần (có điều kiện).

Dạng toán 5. Sử dụng nguyên hàm để giải toán.

Thông thường, các dạng bài tập nguyên hàm thường được giải bằng phương pháp đổi biến số và phương pháp từng phần

Các công thức nguyên hàm lớp 12

Nắm chắc công thức nguyên hàm là yếu tố quan trọng trước tiên để có thể giải quyết các bài tập nguyên hàm. Nhằm giúp các bạn học sinh học tốt chuyên đề nguyên hàm, BTEC FPT đã tổng hợp lại các công thức nguyên hàm của hàm số sơ cấp, hàm số hợp và hàm số lượng giác ở phía dưới đây:

Các công thức nguyên hàm lớp 12

Kinh nghiệm làm bài tập nguyên hàm lớp 12

1. Nắm chắc lý thuyết

Trước hết, các bạn học sinh cần nắm chắc lý thuyết nguyên hàm bao gồm khái niệm, tính chất, các công thức tính toán nguyên hàm để có thể áp dụng vào giải bài tập. Để ghi nhớ kiến thức nhanh chóng, hiệu quả các bạn học sinh nên tự xây dựng cho mình sơ đồ tư duy cá nhân cho mỗi bài học. 

2. Luyện tập

Các bạn học sinh nên làm nhiều dạng bài tập khác nhau, bao gồm cả bài tập trắc nghiệm và bài tập tự luận có mức độ từ dễ đến khó. Việc luyện tập thường xuyên giúp các bạn làm quen với các dạng câu hỏi và phương pháp giải, từ đó nâng cao kỹ năng và điểm số. 

Bên cạnh đó, các bạn học sinh cần chú ý chọn những nguồn tài liệu tham khảo uy tín, bám sát đề thi THPT Quốc Gia. Có rất nhiều nguồn tài liệu uy tín các bạn có thể tham khảo để luyện giải bài tập như sách giáo khoa, sách bài tập và các loại sách tham khảo được xuất bản bởi Bộ giáo dục và đào tạo, Đại học Quốc Gia Hà Nội,…

3. Sử dụng máy tính cầm tay

Ngoài ra, các bạn học sinh nên học cách giải các bài tập nguyên hàm bằng máy tính cầm tay để có thể giải quyết các bài tập trắc nghiệm một cách nhanh chóng, tiện lợi và tiết kiệm thời gian. 

Kinh nghiệm làm bài tập nguyên hàm lớp 12

Hy vọng với những kiến thức và kinh nghiệm mà chúng mình đã chia sẻ trên đây sẽ giúp các bạn học sinh có quá trình học tập và ôn thi hiệu quả. BTEC FPT chúc bạn thành công trên con đường học tập.