Logarit lớp 12: Công thức, lý thuyết và bài tập

Bài logarit là một trong những phần kiến thức trọng tâm trong chương trình toán 12 và chiếm nhiều điểm số trong kỳ thi THPT Quốc gia. Đây là chuyên đề khó cần học sinh nắm chắc và luyện tập thường xuyên. Để giúp các bạn học sinh học tốt phần này, chúng mình đã tổng hợp lại các công thức và kinh nghiệm học logarit lớp 12 trong bài viết dưới đây. 

Logarit là gì

Logarit là gì 

Logarit là phép toán nghịch đảo của phép lũy thừa. Theo đó, logarit của một số a là số mũ của cơ số b (có giá trị cố định), phải được nâng lũy thừa để tạo thành số a đó. 

Cho hai số dương a, b với a ≠ 1. Số α thỏa mãn đẳng thức a^α = b được gọi là logarit cơ số a của b và kí hiệu là log_ab. 

Ta có thể viết: α = log_ab ⇔ a^α = b

Trong đó:

• b là cơ số của logarit.
• x là số mà chúng ta muốn tính logarit của.
• y là kết quả logarit.

Ví dụ 1:

Nếu b = 10 và x = 100, thì log_10(100) = 2, vì 10^2 = 100.

Nếu b = 2 và x = 8, thì log_2(8) = 3, vì 2^3 = 8.

Ví dụ 2:

log₁₀100 = 2 vì 102 = 100

log28 = 3 vì 23 = 8

Có 3 loại logarit lớp 12: 

• Logarit thập phân: là logarit có cơ số 10, viết tắt là log₁₀b = logb = lgb có nhiều ứng dụng trong khoa học và kỹ thuật. 
• Logarit tự nhiên: là logarit có cơ số là hằng số e, viết tắt là ln(b), log_e(b) có ứng dụng nhiều trong toán học và vật lý đặc biệt là tích phân
• Logarit nhị phân: là logarit sử dụng cơ số 2, ký hiệu là log₂b có ứng dụng trong khoa học máy tính, lập trình ngôn ngữ C 

Ngoài ra, ta còn 2 cách phân loại khác là logarit phức (là hàm ngược của hàm lũy thừa trong số phức) và logarit rời rạc (ứng dụng trong mật mã hóa công khai) 

Tóm lại, công thức chung của logarit có dạng như sau: log_ab trong đó a, b là số dương với a ≠ 1. 

Lý thuyết logarit lớp 12

Tính chất của logarit có thể chia thành các nhóm sau: 

Nhóm 1: Logarit của đơn vị và logarit của cơ số:

Với cơ số tùy ý, ta luôn có log_a1 = 0 và log_aa= 1.

Nhóm 2: Phép mũ hóa và phép logarit hóa theo cùng cơ số (mũ hóa số thực α theo cơ số a là tính a^α; logarit hóa số dương b theo cơ số a là tính log_ab) là hai phép toán ngược nhau.

Nhóm 3: Logarit và các phép toán: Phép logarit hóa biến phép nhân thành phép cộng, phép chia thành phép trừ, phép nâng lên lũy thừa thành phép nhân, phép khai căn thành phép chia, cụ thể là 

• log_a(bc) = log_a​b + log_ac (0<a=1; b>0 và c>0).
• log_acb​ = log_ab − log_ac (0<a=1; b>0 và c>0).
• log_ab.log_bc = log_ac ⇔ log_bc= log_ab.log_ac  (0<a, b=1, c>0).

Nhóm 4: Đổi cơ số: Có thể chuyển các phép lấy logarit theo những cơ số khác nhau về việc tính logarit theo cùng một cơ số chung, cụ thể là 

• log_an√b =log_ab^1/n (0<a=1; b>0; n>0; n∈N∗).
• log_ab = log_b1/a ⇔ log_a​b.log_ba = 1 (0<a, b=1).
• log_an√b = 1/n log_ab (0<a=1; b>0; n=0).
• log_a​bⁿ = nlog_ab (0<a=1; b>0).
• log_a1/b = −log_a​b (0<a=1; b>0).

Nhóm 5: So sánh logarit:

• Nếu a>1; b>0 và  c>0 thì log_ab > log_ac ⇔ b>c.
• Nếu 0<a<1; b>0 và  c>0 thì log_ab > log_ac ⇔ b<c.

​Hệ quả:

a) Nếu a > 1; b > 0 thì log_ab > 0 ⇔ b > 1; log_ab < 0 ⇔ 0 < b < 1.

b) Nếu 0 < a < 1; b > 0 thì log_ab < 0 ⇔ b > 1; log_ab > 0 ⇔ 0 < b < 1.

c) Nếu 0 < a ≠ 1; b, c > 0 thì log_ab = log_ac ⇔ b = c.

Logarit thập phân log₁₀b = logb (= lgb) có đầy đủ tính chất của logarit cơ số a.

Các công thức logarit lớp 12

Để giúp các bạn học sinh học tốt chuyên đề logarit, BTEC FPT đã tổng hợp lại các công thức logarit trọng tâm ở phía dưới đây:

Các công thức logarit lớp 12

Kinh nghiệm làm bài tập logarit lớp 12

1. Nắm chắc lý thuyết

Trước hết, các bạn học sinh cần nắm chắc lý thuyết logarit bao gồm khái niệm, tính chất, các công thức tính toán logarit để có thể áp dụng vào giải bài tập. Để ghi nhớ kiến thức nhanh chóng, hiệu quả các bạn học sinh nên tự xây dựng cho mình sơ đồ tư duy cá nhân cho mỗi bài học. 

2. Luyện tập thường xuyên

Các bạn học sinh nên làm nhiều dạng bài tập khác nhau liên quan đến giải phương trình logarit và bất phương trình logarit, bao gồm cả bài tập trắc nghiệm và bài tập tự luận có mức độ từ dễ đến khó. Việc luyện tập thường xuyên giúp các bạn làm quen với các dạng câu hỏi và phương pháp giải, từ đó nâng cao kỹ năng và điểm số. 

Bên cạnh đó, các bạn học sinh cần chú ý chọn những nguồn tài liệu tham khảo uy tín, bám sát đề thi THPT Quốc Gia. Có rất nhiều nguồn tài liệu uy tín các bạn có thể tham khảo để luyện giải bài tập như sách giáo khoa, sách bài tập và các loại sách tham khảo được xuất bản bởi Bộ giáo dục và đào tạo, Đại học Quốc Gia Hà Nội,…

3. Sử dụng máy tính cầm tay

Ngoài ra, các bạn học sinh nên học cách giải các bài tập hàm số logarit bằng máy tính cầm tay để có thể giải quyết các bài tập trắc nghiệm một cách nhanh chóng, tiện lợi và tiết kiệm thời gian. 

Kinh nghiệm làm bài tập logarit lớp 12

Hy vọng với những kinh nghiệm mà chúng mình đã chia sẻ trên đây sẽ giúp các bạn học sinh có quá trình học tập và ôn thi hiệu quả. BTEC FPT chúc bạn thành công trên con đường học tập.