Phương trình Logarit và cách giải nhanh nhất

Phương trình logarit là một trong những kiến thức nền tảng quan trọng trong toán học, đặc biệt là đối với những bạn học sinh, sinh viên đang theo học các ngành khoa học tự nhiên. Việc nắm vững cách giải phương trình logarit không chỉ giúp bạn đạt điểm cao trong các bài kiểm tra mà còn trang bị cho bạn những kỹ năng cần thiết để giải quyết các vấn đề thực tế.

Lý thuyết phương trình Logarit 

Để có thể hiểu rõ về phương trình logarit chúng ta sẽ cùng nhau đi tìm hiểu từ lý thuyết và sau đó đến các công thức và các dạng bài tập. Trước tiên lý thuyết sẽ là cái đầu tiên chúng ta cần hiểu và nắm rõ.

Vậy phương trình Logarit là gì? 

- Phương trình Logarit là một phương trình có chứa ẩn số trong biểu thức dưới dấu Logarit, và có dạng 

log_ax=b ⇔ x=a^b (0 < a ≠ 1)

Trong đó x sẽ là ẩn số cần đi tìm.

Để chứng minh phương trình trên có nghiệm: 

• Áp dụng định nghĩa Logarit ta có được: log_ax=b ⇔ x=a^b
• Được minh họa bằng đồ thị hàm số chúng ta có được:

đồ thị phương trình logarit

Chúng ta có thể thấy đồ thị của hàm số y=log_ax và y=b luôn cắt nhau tại một điểm ∀ b ∈ R

Phương trình Logarit log_ax=b (a>b, x>0, a ≠  1) sẽ luôn có nghiệm duy nhất là x=a^b với mọi b 

Phương trình logarit có thể xuất hiện dưới nhiều dạng khác nhau, chẳng hạn:

• Phương trình đơn giản: log_ax=b 
• Phương trình có nhiều hạng tử: log_ax+log_ay=b 
• Phương trình có số mũ: a^log_ax= x

Công thức phương trình logarit

Dạng:

• log_ax > b (a>0,a≠1), log_a⁡x > b (a>0,a≠1)
• log_ax ≥ b (a>0,a≠1), log_a⁡x ≥ b (a>0,a≠1)
• log_ax < b (a>0,a≠1), log_a⁡x < b (a>0,a≠1)
• log_ax ≤ b (a>0,a≠1)

Lưu ý:

• Điều kiện của x: x > 0 (với mọi cơ số a)
• Khi giải bất phương trình logarit, cần chú ý đến điều kiện của x và điều kiện của a.

Lý thuyết phương trình logarit

Công thức bất phương trình logarit với nhiều ẩn

Dạng:

• log_ax + log_by > c*log_ax + log_by > c
• log_ax − log_by > c*log_ax − log_by >c

Giải:

Biến đổi bất phương trình về dạng:

log_a(xy) > c*log_a(xy) > c*log_b(xy) > c*log_b(xy) > c

Giải bất phương trình tương tự như bất phương trình logarit cơ bản.

Ngoài việc học công thức ra chúng ta cần có một số lưu ý thêm khi học bảng công thức Log 

Khi học bảng công thức Log học sinh cần lưu ý: 

• Phân biệt hàm mũ và Logarit: Phương trình Logarit có chữ log, phương trình hàm mũ thì biến số nâng lên thành lũy thừa và số mũ đặt sau 1 số. 
• Ghi nhớ thành phần của công thức Logarit đầy đủ: Các thành phần của công thức Logarit gồm viết tắt log, cơ số, đối số.
• Phân biệt sự khác nhau giữa các Logarit thập phân, Logarit tự nhiên, Logarit đơn vị, Logarit cơ số… và các phép mũ hóa Logarit hóa cùng một cơ số. 

Cách giải phương trình logarit và ví dụ

1. Đưa về cùng cơ số

• Nguyên lý: Sử dụng tính chất: log_a(x) = log_a(y) ⇔ x = y (với a > 0, a ≠ 1).
• Cách làm: Biến đổi các logarit trong phương trình về cùng một cơ số, sau đó loại bỏ logarit để giải phương trình thu được.
• Ví dụ: log₂(x) = log₄(x + 3)
  • Ta có: log₄(x + 3) = log2^2(x + 3) = 1/2 * log_2(x + 3)
  • Phương trình trở thành: log_2(x) = 1/2 * log_2(x + 3)
  • Giải phương trình này ta được nghiệm.

2. Đặt ẩn phụ

• Nguyên lý: Đặt một biểu thức phức tạp trong logarit bằng một ẩn phụ mới để đơn giản hóa phương trình.
• Cách làm: Chọn một biểu thức thích hợp để đặt ẩn phụ, sau đó biến đổi phương trình về dạng phương trình theo ẩn phụ mới.
• Ví dụ: log_2(x^2 - 3x + 2) = 1
  • Đặt t = log_2(x^2 - 3x + 2), phương trình trở thành t = 1
  • Giải phương trình theo t, rồi suy ra x.

3. Mũ hóa

• Nguyên lý: Sử dụng định nghĩa của logarit để đưa phương trình về dạng mũ.
• Cách làm: Mũ hóa cả hai vế của phương trình với cơ số của logarit.
• Ví dụ: log_2(x) = 3
  • Mũ hóa cả hai vế với cơ số 2: 2^(log_2(x)) = 2^3
  • Suy ra x = 8

Cách giải bất phương trình logarit

4. Đưa về phương trình tích

• Nguyên lý: Sử dụng các tính chất của logarit để đưa phương trình về dạng tích các nhân tử bằng 0.
• Cách làm: Biến đổi phương trình sao cho vế trái là một tích các biểu thức chứa logarit, sau đó giải từng nhân tử bằng 0.
• Ví dụ: log_2(x^2 - 1) - log_2(x - 1) = 1
  • Sử dụng tính chất logarit của một thương, ta được: log_2[(x^2 - 1)/(x - 1)] = 1
  • Rút gọn và giải phương trình.

5. Sử dụng bất đẳng thức, tính đơn điệu của hàm số

• Nguyên lý: Áp dụng tính đơn điệu của hàm số logarit để so sánh các biểu thức và tìm nghiệm.
• Cách làm:
  • Tính đơn điệu: Hàm số y = log_a(x) đồng biến khi a > 1 và nghịch biến khi 0 < a < 1.
  • Bất đẳng thức: Sử dụng các bất đẳng thức cơ bản để đánh giá các biểu thức chứa logarit.
• Ví dụ: log_2(x) > 1
  • Vì hàm số y = log_2(x) đồng biến, nên x > 2.

Lưu ý:

• Điều kiện xác định: Luôn đặt điều kiện xác định cho biểu thức trong logarit (lớn hơn 0).
• Kiểm tra nghiệm: Sau khi tìm được nghiệm, cần kiểm tra lại xem có thỏa mãn điều kiện ban đầu không.
• Kết hợp các phương pháp: Nhiều bài toán phức tạp có thể yêu cầu kết hợp nhiều phương pháp giải khác nhau.

Ví dụ tổng hợp: Giải phương trình: log_2(x^2 - 3x + 2) + log_2(x - 1) = 1

• Bước 1: Điều kiện xác định: x^2 - 3x + 2 > 0 và x - 1 > 0
• Bước 2: Sử dụng tính chất logarit của một tích: log_2[(x^2 - 3x + 2)(x - 1)] = 1
• Bước 3: Mũ hóa cả hai vế: (x^2 - 3x + 2)(x - 1) = 2
• Bước 4: Giải phương trình bậc ba: x^3 - 4x^2 + 3x = 0
• Bước 5: Kiểm tra nghiệm và kết luận.

Qua bài viết này, chúng ta đã cùng nhau khám phá những khái niệm cơ bản về phương trình logarit, cũng như các phương pháp giải nhanh chóng và hiệu quả. Từ việc đưa về cùng cơ số, đặt ẩn phụ đến mũ hóa và sử dụng bất đẳng thức, chúc các thí sinh luôn vững vàng trong kì thi sắp tới nhé!