Tổng hợp lý thuyết toán 12 đầy đủ, chi tiết nhất

Chương trình toán học 12 bao gồm nhiều chủ đề quan trọng mà các bạn học sinh cần nắm vững để chuẩn bị tốt cho kì thi THPT Quốc gia. Để giúp các thí sinh hệ thống hóa kiến thức và ôn tập một cách hiệu quả nhất. Bài viết này BTEC FPT sẽ tổng hợp lý thuyết toán 12 đầy đủ, chi tiết nhất. 

Phần I: Hàm số

1. Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số 

Kí hiệu K là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng.

Định nghĩa: 

Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) trên K ⇔ ∀x₁, x₂ ∈ K, x₁ < x₂ thì f(x₁) < f(x₂).

Hàm số y = f(x) nghịch biến (giảm) trên K ⇔ ∀x₁, x₂ ∈ K, x₁ < x₂ thì f(x₁) > f(x₂).

Điều kiện cần để hàm số đơn điệu 

Cho hàm số f có đạo hàm trên K.

 - Nếu f đồng biến trên K thì f'(x) ≥ 0 với mọi x ∈ K.

 - Nếu f nghịch biến trên K thì f'(x) ≤ 0 với mọi x ∈ K.

Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu 

Cho hàm số f có đạo hàm trên K.

- Nếu f'(x) > 0 với mọi x ∈ K thì f đồng biến trên K.

- Nếu f'(x) < 0 với mọi x ∈ K thì f nghịch biến trên K.

- Nếu f'(x) = 0 với mọi x ∈ K thì f là hàm hằng trên K.

Lý thuyết toán 12 phần I hàm số

2. Cực trị của hàm số 

Cho hàm số y=f(x) liên tục trên khoảng (a,b) và điểm

- Nếu tồn tại số h>0 sao cho f(x) < f(x₀), ∀x ∈ (x₀ - h; x₀ + h), x ≠ x₀  thì ta nói hàm số f đạt cực đại tại x₀.

- Nếu tồn tại h>0 sao cho f(x) > f(x₀), ∀x ∈ (x₀ - h; x₀ + h), x ≠ x₀ , thì ta nói hàm số f đạt cực tiểu tại x₀.

3. Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: 

Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D.

• Số M là giá trị lớn nhất (GTLN) của hàm số f trên D khi và chỉ khi:
  • f(x) ≤ M, ∀x ∈ D
  • Tồn tại x₀ ∈ D sao cho f(x₀) = M Kí hiệu: M = max f(x). D
• Số m là giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số f trên D khi và chỉ khi:
  • f(x) ≥ m, ∀x ∈ D
  • Tồn tại x₀ ∈ D sao cho f(x₀) = m Kí hiệu: m = min f(x). D

4. Khảo sát sự biến thiên của hàm số

Sự biến thiên 

+ Xét sự biến thiên của hàm số 

- Tìm đạo hàm bậc nhất y’

- Tìm các điểm tại đó y’ bằng 0 hoặc không xác định 

Xét dấu y’ và suy ra chiều biến thiên của hàm số 

+ Tìm cực trị 

+ Tìm các giới hạn tại vô cực, các giới hạn vô cực và tìm các tiệm cận (nếu có).

+ Lập bảng biến thiên tổng kết các bước trên để hình dung ra dáng điệu của đồ thị

Phần II: Mũ và Logarit

1. Lũy thừa 

1.1 Lũy thừa với số mũ nguyên 

cho n là một số nguyên dương 

với a là một số thực tùy ý, lũy thừa bậc n của a là tích của n số thừa a: aⁿ = a*a*a*a*.............a (n thừa số a)

với a khác 0 thì a⁰ = 1, a^-n = 1/aⁿ

1.2 Lũy thừa với số mũ hữu tỉ 

Cho số thực a dương với số mũ hữu tỉ r = m/n , trong đó m ∈ Z, n ∈ M, n>=2.

Lũy thừa của số a với số mũ r là số a^r, xác định bởi a^r = a^m/n = ⁿ√a^m

2. Logarit 

Cho hai số dương a,b với a khác 1. Nghiệm duy nhất của phương trình a^x = b, được gọi là log_ab , 

Như vậy log_ab = ∝ <=> a^∝ = b

Logarit cơ số 10 còn được gọi là logarit thập phân, số log10b thường được viết là logb hoặc lgb.

Tính chất của logarit 

Lôgarit có các tính chất rất phong phú, có thể chia ra thành các nhóm sau đây:

1) Lôgarit của đơn vị và lôgarit của cơ số:

Với cơ số tùy ý, ta luôn có log_a1 = 0 và log_aa= 1.

2) Phép mũ hóa và phép lôgarit hóa theo cùng cơ số (mũ hóa số thực α theo cơ số a là tính aα; lôgarit hóa số dương b theo cơ số a là tính logab) là hai phép toán ngược nhau.

∀a > 0 (a≠1), ∀b > 0, a^logab = b

∀a < 0 (a≠1), log_aa^∝ = ∝

3. Hàm số mũ, hàm số logarit 

Hàm số mũ là hàm số có dạng y=a^x , hàm số lôgarit là hàm số có dạng y= log_ax ( với cơ số a dương khác 1).

4. Phương trình mũ và phương trình logarit 

4.1 Phương trình mũ cơ bản

Phương trình có dạng a^x = b ( 0 < a ≠ 1)

+) Với b > 0 ta có a^x = b <=> x = log_ab

+) Với b < 0  phương trình vô nghiệm.

4.2 Phương trình logarit 

Phương trình có dạng log_ax = b ( 0 < a ≠ 1 )

Ta có: log_ax = b <=> x = a^b

Phương trình luôn có nghiệm x = a^b

Phần II mũ và logarit

Phần III: Nguyên hàm - Tích phân - Ứng dụng tích phân 

1. Nguyên hàm 
2. Định nghĩa

Cho kí hiệu K là khoảng,  đoạn hoặc nửa khoảng của R

cho hàm số f(x) xác định trên K

Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F’(x) = f(x) với mọi x ∈ K

1. Định lý 

1, Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số G(x)= F(x) + C cũng là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K 

2, Ngược lại, nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x) + C với C là một hằng số tùy ý 

Kí hiệu họ nguyên hàm của hàm số f(x) là ∫f(x)dx

Khi đó: ∫f(x)dx = F(x) + C, C ∈ R

2. Tích phân 

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a,b]. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn [a,b], hiệu số F(b) - F(a) được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên đoạn [a,b] của hàm số f(x).

Kí hiệu là : ∫^b_af(x)dx

Vậy ta có: ∫^b_af(x)dx= F(b) - F(a) = F(x)|^b_a

Chú ý : Trong trường hợp a = b, ta định nghĩa: ∫^a_af(x)dx = 0

Trường hợp a>b, ta định nghĩa ∫^b_af(x)dx = - ∫^a_bf(x)dx

Tích phân không phụ thuộc vào chữ dùng làm biến số trong dấu tích phân, tức là : ∫^b_af(x)dx = ∫^b_af(t)dt = ∫^b_af(u)du= ..... ( vì đều bằng F(b) - F(a)) 

Phần IV: Số phức 

Số phức z = a + bi có phần thực là a, phần ảo là b

- Số phức bằng nhau

- Số phức z= a+bi được biểu diễn bởi điểm M(a,b) trên mặt phẳng tọa độ 

- Độ dài của ^→_OM  là môđun của số phức z, kí hiệu là |z| = ^→_{OM = √(a² + b²)}

- Số phức liên hợp của   z = a + bi và ^-z = a - bi

Lý thuyết hình học

1. Khối đa diện 

Hình đa diện (gọi tắt là đa diện) (H) là hình được tạo bởi một số hữu hạn các đa giác thỏa mãn hai điều kiện: 

1. a) Hai đa giác phân biệt chỉ có thể hoặc không có điểm chung, hoặc chỉ có một đỉnh chung, hoặc chỉ có một cạnh chung.
2. b) Mỗi cạnh của đa giác nào cũng là cạnh chung của đúng hai đa giác.

Mỗi đa giác như thế được gọi là một mặt của hình đa diện (H) các đỉnh, cạnh của các đa giác ấy theo thứ tự gọi là các đỉnh, cạnh của hình đa diện (H).

2. Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu 

2.1 Mặt nón tròn xoay 

Trong mặt phẳng (P) cho hai đường thẳng d và Δ cắt nhau tại điểm O và tạo thành góc B với 0^o < Β < 90^o

Khi quay mặt phẳng (P) xung quanh Δ thì đường thẳng d sinh ra một mặt tròn xoay được gọi là mặt nón xoay đỉnh 0 ( gọi tắt là mặt nón) 

2.2 Mặt trụ tròn xoay 

Trong mặt phẳng (P) cho hai đường thẳng Δ và I song song với nhau, cách nhau một khoảng bằng r. Khi quay mặt phẳng (P) xung quanh Δ thì đường thẳng l sinh ra một mặt tròn xoay được gọi là mặt trụ tròn xoay (mặt trụ). Đường thẳng Δ gọi là trục, đường thẳng l là đường sinh và r là bán kính của mặt trụ đó.

2.3 Mặt cầu 

Tập hợp các điểm trong không gian cách điểm O cố định một khoảng không đổi r (r>0) được gọi là một mặt cầu tâm O bán kính r.

Bài viết đã tổng hợp các kiến thức toán học lớp 12 một cách chi tiết và đầy đủ. Để nắm vững kiến thức, các bạn cần thường xuyên luyện tập giải bài tập. Chúc các bạn học tốt và đạt kết quả cao trong kỳ thi sắp tới!