Lý thuyết hàm số mũ, hàm số logarit chi tiết, đầy đủ 

Hàm số mũ và hàm số logarit là hai khái niệm cơ bản nhưng vô cùng quan trọng trong toán học. Hàm số mũ và hàm số logarit cũng góp mặt trong bộ đề thi THPT chính vì vậy bạn cần nắm chắc lý thuyết của chúng. Trong bài viết này BTEC sẽ giúp bạn hiểu về lý thuyết hàm số mũ và hàm số logarit cùng với một số bộ đề thi để bạn có thể ôn tập thật tốt. 

Lý thuyết về hàm số mũ 

Định nghĩa

Hàm số mũ là hàm số có dạng: y = a^x (với a > 0, a ≠ 1)

Trong đó: + a là cơ số (luôn dương và khác 1)

                + x là số mũ (có thể là bất kỳ số thực nào)

Tính chất của hàm số mũ  y = a^x

+ Tập xác định: D = R (tức là hàm số xác định với mọi giá trị thực của x).

+ Tập giá trị: T = (0; +∞) (tức là giá trị của hàm số luôn dương).

+ Đồ thị hàm số: Luôn đi qua điểm (0;1) và nằm phía trên trục hoành.

+ Tính đơn điệu:

• Khi a > 1: Hàm số đồng biến trên R. Nghĩa là khi x tăng thì y cũng tăng.
• Khi 0 < a < 1: Hàm số nghịch biến trên R. Nghĩa là khi x tăng thì y giảm.

+ Đạo hàm: 

• y' = a^x.ln(a)
• Dấu của đạo hàm cũng thể hiện tính đơn điệu của hàm số.

Lý thuyết về hàm số mũ

Ví dụ về hàm số mũ

+ Hàm số y = 2^x: là hàm số đồng biến, đồ thị của nó luôn đi lên khi x tăng.

+ Hàm số y = (1/2)^x: là hàm số nghịch biến, đồ thị của nó luôn đi xuống khi x tăng.

Ứng dụng của Hàm Số Mũ

• Lý thuyết Tăng Trưởng:

• Hàm số mũ thường xuất hiện trong các bài toán liên quan đến tăng trưởng nhanh, ví dụ như trong mô hình tăng trưởng dân số, sự lan truyền của dịch bệnh, và tài chính.

• Lý thuyết Xác Suất và Thống Kê:

• Hàm mũ xuất hiện trong phân phối xác suất như phân phối Poisson và phân phối exponential.

• Vật lý và Khoa học:

• Trong vật lý, hàm mũ xuất hiện trong các bài toán liên quan đến sự phân rã phóng xạ và quá trình trễ thời gian.

• Kinh tế:

• Hàm số mũ thường dùng để mô hình hóa lãi suất và các hiện tượng tài chính khác.

Hàm số mũ là một công cụ mạnh mẽ trong nhiều lĩnh vực và việc hiểu rõ về nó giúp giải quyết nhiều bài toán phức tạp trong toán học và các ứng dụng thực tiễn.

Lý thuyết về hàm số logarit 

Nhận biết hàm số logarit 

Cho a là số thực dương khác 1. Hàm số y= logax được gọi là hàm số logarit cơ số a.

Tính chất của hàm số logarit y= logax: 

+ Tập xác định: D = (0; +∞) (nghĩa là x luôn dương).

+ Tập giá trị: T = R (nghĩa là y có thể nhận mọi giá trị thực).

+ Đồ thị hàm số:

• Luôn đi qua điểm (1;0).
• Đối xứng với đồ thị hàm số mũ y = a^x qua đường thẳng y = x.

+ Tính đơn điệu:

• Khi a > 1: Hàm số đồng biến trên (0; +∞).
• Khi 0 < a < 1: Hàm số nghịch biến trên (0; +∞).

+ Đạo hàm: 

• y' = 1/(x.lna)
• Dấu của đạo hàm cũng thể hiện tính đơn điệu của hàm số.

Lý thuyết về hàm số logarit

Ví dụ hàm số logarit

+ Hàm số y = log₂X: là hàm số đồng biến, đồ thị của nó luôn đi lên khi x tăng.

+ Hàm số y = log(1/2)x: là hàm số nghịch biến, đồ thị của nó luôn đi xuống khi x tăng.

Ứng dụng của Hàm Số Logarit

1. Giải phương trình mũ:

• • Hàm logarit thường được dùng để giải các phương trình mũ. Ví dụ, để giải phương trình

• Tăng trưởng và phân rã:

• Hàm logarit được dùng trong các mô hình tăng trưởng và phân rã trong khoa học tự nhiên, như mô hình dân số, phân rã phóng xạ, v.v.

1. Khoa học máy tính:

• Trong khoa học máy tính, logarit được sử dụng để phân tích độ phức tạp thuật toán và các cấu trúc dữ liệu.

1. Kinh tế và tài chính:

• Logarit cũng xuất hiện trong các mô hình tài chính, ví dụ như mô hình tăng trưởng lãi suất liên tục.

Hàm logarit là một công cụ toán học mạnh mẽ và linh hoạt, rất hữu ích trong nhiều lĩnh vực từ lý thuyết toán học đến các ứng dụng thực tiễn.

Hàm số mũ và hàm số logarit trong đề thi thpt quốc gia 

Hàm số mũ và logarit là một trong những chủ đề quan trọng và thường xuyên xuất hiện trong đề thi THPT Quốc gia môn toán. Chính vì vậy các bạn cần thường xuyên ôn tập và rèn luyện làm đề để đạt kết quả cao nhất. 

Dưới đây là các dạng bài tập thường gặp của hàm số mũ và hàm số logarit trong đề thi thpt quốc gia: 

1. Vẽ đồ thị hàm số 

Yêu cầu: Vẽ đồ thị hàm số y = a^x hoặc y = loga x với các giá trị a khác nhau.

Cách làm: 

• Xác định các điểm đặc biệt: giao với trục Oy, tính đơn điệu.
• Vẽ đồ thị dựa vào các điểm đặc biệt và tính chất của hàm số

2. Giải phương trình và bất phương trình mũ logarit 

Yêu cầu: Tìm nghiệm của các phương trình, bất phương trình mũ và logarit.

Cách làm:

• Đưa về cùng cơ số 
• Sử dụng các tính chất đã được học về logarit và mũ 
• Đặt ẩn phụ

3. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 

Yêu cầu: Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một đoạn hoặc trên toàn miền xác định.

Cách làm:

• Khảo sát sự biến thiên của hàm số.
• Tính giá trị tại các điểm đầu mút và các điểm cực trị (nếu có).

Một số bài tập lý thuyết hàm số mũ, hàm số logarit chi tiết 

Đề luyện hàm số mũ, hàm số logarit chi tiết: đề số 1 

Đề luyện hàm số mũ, hàm số logarit chi tiết: đề số 2

Đề luyện hàm số mũ, hàm số logarit chi tiết: đề số 3

Đề luyện hàm số mũ, hàm số logarit chi tiết: đề số 4

Hàm số mũ và hàm số logarit trong đề thi thpt quốc gia

Qua bài viết này, chúng ta đã cùng nhau khám phá chi tiết về hàm số mũ và hàm số logarit, từ định nghĩa, tính chất đến đồ thị và các ứng dụng thực tế. Việc nắm vững lý thuyết về hàm số mũ và logarit là nền tảng quan trọng để bạn giải quyết các bài toán phức tạp trong chương trình toán học. Hãy ôn luyện thường xuyên để làm quen với các dạng bài tập khác nhau và nâng cao kỹ năng giải toán của mình.