Tổng hợp kiến thức toán hình 12 chi tiết, đầy đủ

Toán hình học lớp 12 là một phần quan trọng trong chương trình học, đặc biệt đối với những bạn học sinh chuẩn bị kỳ thi đại học. Trong bài viết này, chúng ta sẽ cùng khám phá các khái niệm chính trong hình học không gian bao gồm khối đa diện, mặt nón, mặt trụ, mặt cầu, và phương pháp tọa độ trong không gian. Cuối cùng, chúng tôi sẽ cung cấp các mẹo ôn tập để bạn có thể chuẩn bị tốt nhất cho kỳ thi cuối năm.

Khối đa diện

Khái niệm về khối đa diện

Phần không gian được giới hạn bởi một hình đa diện H được gọi là khối đa diện H 

Mỗi đa diện H chia các điểm còn lại của không gian thành hai miền không giao nhau: miền trong và miền ngoài của H.  Trong đó chỉ có duy nhất miền ngoài là chứa hoàn toàn một đường thẳng nào đấy.

Các điểm thuộc miền trong là các điểm trong, các điểm thuộc miền ngoài là các điểm ngoài của H.

Khối đa diện H  là hợp của hình đa diện H và miền trong của nó 

Khái niệm về hình đa diện 

Hình đa diện (gọi tắt là đa diện) H là hình được tạo bởi một số hữu hạn các đa giác thỏa mãn hai điều kiện:

1. a) Hai đa giác phân biệt chỉ có thể hoặc không có điểm chung, hoặc chỉ có một đỉnh chung, hoặc chỉ có một cạnh chung.
2. b) Mỗi cạnh của đa giác nào cũng là cạnh chung của đúng hai đa giác. Mỗi đa giác như thế được gọi là một mặt của hình đa diện H. Các đỉnh, cạnh của các đa giác ấy theo thứ tự gọi là các đỉnh, cạnh của hình đa diện H

Khối lập phương (Cube): Khối lập phương có 6 mặt hình vuông đều nhau. Các mặt đối diện của khối lập phương đều song song và có cùng diện tích. Ví dụ, khối hộp chữ nhật là một dạng tổng quát của khối lập phương.

Khối chóp (Pyramid): Khối chóp có một mặt đáy là đa giác và các mặt còn lại là tam giác nối từ đỉnh đến các cạnh của mặt đáy. Nếu mặt đáy là đa giác đều, các mặt bên của khối chóp đều là tam giác đều.

Khối lăng trụ (Prism): Khối lăng trụ có hai mặt đáy bằng nhau và các mặt bên là hình chữ nhật. Nếu mặt đáy là một đa giác đều, thì các mặt bên của khối lăng trụ sẽ là hình chữ nhật đều.

Khối tứ diện (Tetrahedron): Khối tứ diện có 4 mặt, tất cả đều là tam giác. Đây là khối đa diện đơn giản nhất với số mặt ít nhất.

Khối đa diện là gì

Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu

1. Mặt nón 

Trong mặt phẳng (P), cho 2 đường thẳng d, Δ cắt nhau tại O và chúng tạo thành góc β với 0o < β ≤ 90o . Khi quay mp(P) xung quanh trục Δ với góc β không thay đổi được gọi là mặt nón tròn xoay đỉnh O.

- Người ta thường gọi tắt mặt nón tròn xoay là mặt nón.

- Đường thẳng Δ gọi là trục, đường thẳng d được gọi là đường sinh và góc 2β gọi là góc ở đỉnh.

Cho hình nón có chiều cao là h, bán kính đáy r và đường sinh là l thì có: 

Diện tích xung quanh: S_xq = π*r*l

Thể tích khối nón: S_δ = π*r²

=> Diện tích toàn phần hình nón: Stp = S_xq + S_δ

Thể tích khối nón: Vnon = 1/3 * S_δ * h= 1/3 * π * r²  * h

2. Mặt trụ 

    Trong mp(P) cho hai đường thẳng Δ và l song song nhau, cách nhau một khoảng r. Khi quay mp(P) quanh trục cố định Δ thì đường thẳng l sinh ra một mặt tròn xoay được gọi là mặt trụ tròn xoay hay gọi tắt là mặt trụ.

- Đường thẳng Δ được gọi là trục.

- Đường thẳng l được gọi là đường sinh.

- Khoảng cách r được gọi là bán kính của mặt trụ.

Nếu cắt mặt trụ tròn xoay (có bán kính là r) bởi một mp(α) vuông góc với trục Δ thì ta được đường tròn có tâm trên α và có bán kính bằng r với r cũng chính là bán kính của mặt trụ đó.

Nếu cắt mặt trụ tròn xoay (có bán kính là r) bởi một mp(α) không vuông góc với trục Δ nhưng cắt tất cả các đường sinh, ta được giao tuyến là một đường elíp có trụ nhỏ bằng 2r và trục lớn bằng 2r/sinφ, trong đó φ là góc giữa trục Δ và mp(α) với 00 < φ < 900.

Cho hình trụ có chiều cao là và bán kính đáy bằng r, khi đó:

 - Diện tích xung quanh của hình trụ: S_xq = 2π*r*h

 - Diện tích toàn phần của hình trụ: S_tp = S_xq + 2S_day = 2π*r*h + 2π*r²

 - Thể tích khối trụ: V = B*h = π*r²*h

3. Mặt cầu 

Tập hợp các điểm M trong không gian cách điểm O cố định một khoảng R gọi là mặt cầu tâm O, bán kính R, kí hiệu là: S(O; R). Khi đó S(O; R) = {M|OM = R}

Cho mặt cầu S(O; R) và một đường thẳng Δ. Gọi H là hình chiếu của O trên đường thẳng Δ và d = OH là khoảng cách từ tâm O của mặt cầu đến đường thẳng Δ. Khi đó:

- Nếu d > R ⇔ Δ không cắt mặt cầu S(O; R).

- Nếu d < R ⇔ Δ cắt mặt cầu S(O; R) tại hai điểm phân biệt.

- Nếu d = R ⇔ Δ và mặt cầu tiếp xúc nhau (tại một điểm duy nhất). Do đó: điều kiện cần và đủ để đường thẳng Δ tiếp xúc với mặt cầu là d = d(O, Δ) = R.

Định lí: Nếu điểm A nằm ngoài mặt cầu S(O; R) thì:

- Qua có vô số tiếp tuyến với mặt cầu S(O; R).

- Độ dài đoạn thẳng nối A với các tiếp điểm đều bằng nhau.

- Tập hợp các điểm này là một đường tròn nằm trên mặt cầu S(O; R).

Mặt nón, mặt trụ và mặt cầu

Phương pháp tọa độ trong không gian 

Trong không gian, xét ba trục tọa độ Ox, Oy, Oz vuông góc với nhau từng đôi một và chung một điểm gốc O. Gọi i^->, j^->, k^-> , là các vectơ đơn vị, tương ứng trên các trục Ox, Oy, Oz. Hệ ba trục như vậy gọi là hệ trục tọa độ vuông góc trong không gian.

Định nghĩa: u^-> = (x;y;z) <=> k^-> = xi^-> + yj^-> +zk^->

Tính chất: Cho a^-> = (a₁;a₂;a₃), b^-> =(b₁;b₂;b₃), k ∈ R

a^-> +- b^-> = (a₁ +- b₁; a₂ +- b₂; a₃ + b₃),

ka^-> = (ka₁; ka₂; ka₃)

a^-> = b^-> <=> a₁ = b₁, a₂=b₂, a₃=b₃

0^-> = (0;0;0), i^-> =(1;0;0), j^->(0;1;0), k^-> = (0;0;1)

a^-> cùng phương b^-> (b^-> ≠ 0^->) <=> a^-> =k*b^-> (k∈R)

<=> a₁ = kb₁, a₂=kb₂, a₃=kb₃ <=> a₁/b₁ = a₂/b₂ = a₃/b₃, (b₁,b₂,b₃ ≠ 0)

Qua bài viết này, chúng ta đã cùng nhau khám phá và hệ thống lại toàn bộ kiến thức hình học không gian lớp 12. Hình học không gian không chỉ là một phần quan trọng trong chương trình học mà còn có nhiều ứng dụng thực tế trong các lĩnh vực như kiến trúc, kỹ thuật, đồ họa... Việc nắm vững các kiến thức này sẽ giúp bạn tự tin giải quyết các bài toán và mở ra những cơ hội mới trong tương lai. Chúc các bạn học tập hiệu quả!