Tổng hợp kiến thức toán đại 12 chi tiết

Toán 12 luôn là một trong những môn học được xem là "nặng ký" trong chương trình học phổ thông. Với khối lượng kiến thức khổng lồ và độ phức tạp ngày càng tăng, việc nắm vững toàn bộ nội dung là một thử thách không nhỏ đối với các sĩ tử. Tuy nhiên, đừng lo lắng! Bài viết này BTEC FPT sẽ giúp bạn tổng hợp một cách chi tiết và đầy đủ nhất tất cả những kiến thức cần thiết để chinh phục môn toán đại 12.

Lý thuyết toán đại số 12 

Chương I: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số 

1. Sự đồng biến, Nghịch biến của hàm số 

Kí hiệu K là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng.

1. Định nghĩa

Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) trên K ⇔ ∀x1, x2 ∈ K, x1 < x2 thì f(x1) < f(x2).

Hàm số y = f(x) nghịch biến (giảm) trên K ⇔ ∀x1, x2 ∈ K, x1 < x2 thì f(x1) > f(x2).

2. Điều kiện cần để hàm số đơn điệu

Cho hàm số f có đạo hàm trên K.

 - Nếu f đồng biến trên K thì f'(x) ≥ 0 với mọi x ∈ K.

 - Nếu f nghịch biến trên K thì f'(x) ≤ 0 với mọi x ∈ K.

3. Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu

Cho hàm số f có đạo hàm trên K.

- Nếu f'(x) > 0 với mọi x ∈ K thì f đồng biến trên K.

- Nếu f'(x) < 0 với mọi x ∈ K thì f nghịch biến trên K.

- Nếu f'(x) = 0 với mọi x ∈ K thì f là hàm hằng trên K.

Định lý mở rộng

 - Nếu f'(x) ≥ 0 với mọi x ∈ K và f'(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc K thì f đồng biến trên K.

 - Nếu f'(x) ≤ 0 với mọi x ∈ K và f'(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc K thì f nghịch biến trên K.

Lý thuyết toán đại số 12

Cực trị hàm số 

1. Định nghĩa 

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a ; b) và điểm x ∈ (a ; b).

- Nếu tồn tại h>0 sao cho f(x) < f(x₀), ∀x ∈ (x₀ - h; x₀ + h), x ≠ x₀ thì ta nói hàm số f đạt cực đại tại Xo.

- Nếu tồn tại h>0 sao cho f(x) > f(x₀), ∀x ∈ (x₀ - h; x₀ + h), x ≠ x₀  thì ta nói hàm số f đạt cực tiểu tại Xo. 

2. Điều kiện để hàm số có cực trị 

Định lý 1: Cho hàm số y=f(x)  liên tục trên khoảng K= (x₀ - h; x₀ + h), h>0 , và có đạo hàm trên K hoặc trên . K\ {x₀}

Nếu f'(x)>0 | ∀(x₀ - h; x₀) 

f'(x)<0 | ∀(x₀; x₀ +h) 

=> thì x₀ là điểm cực đại của hàm số

Nếu f'(x)<0 | ∀(x₀ - h; x₀) 

f'(x)>0 | ∀(x₀; x₀ +h) 

=> thì x₀ là điểm cực tiểu của hàm số (x₀ - h; x₀ +h) (h>0) 

Nếu f'(x0)= 0

f'' (x0)>0

=> thì x0 là một điệm cực tiểu của hàm số

Nếu f'(x0)= 0

f'' (x0)<0

=> thì x0 là một điệm cực đại của hàm số

Định lý 2: Giả sử f(x) có đạo hàm cấp 2 trong

III. GTLN và GTNN của hàm số 

• Giá trị lớn nhất: Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) trên tập D nếu f(x) ≤ M với mọi x ∈ D và tồn tại x₀ ∈ D sao cho f(x₀) = M.
• Giá trị nhỏ nhất: Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên tập D nếu f(x) ≥ m với mọi x ∈ D và tồn tại x₀ ∈ D sao cho f(x₀) = m.

Chương II: Hàm số lũy thừa và hàm số logarit 

1. Lũy thừa 

Lũy thừa bậc n của a: Với a là một số thực bất kì và n là một số nguyên dương, lũy thừa bậc n của a được ký hiệu là a^n và được định nghĩa là tích của n thừa số a 

a^n = a * a * a * ... * a (n thừa số)

Các trường hợp đặc biệt:

• a^0 = 1 (với a ≠ 0)
• a^-n = 1/a^n (với a ≠ 0)

1. Hàm số lũy thừa 

Hàm số có dạng y = x^α với α ∈ R được gọi là hàm số lũy thừa. Trong đó:

• x là biến số
• α là một hằng số thực gọi là số mũ

Đồ thị hàm số lũy thừa

• Hình dạng: Đồ thị hàm số lũy thừa có nhiều dạng khác nhau tùy thuộc vào giá trị của α.
• Tính chất:

• Đồ thị luôn đi qua điểm (1;1).
• Khi α > 0, hàm số đồng biến trên (0; +∞).
• Khi α < 0, hàm số nghịch biến trên (0; +∞).

III. Logarit 

Logarit cơ số a của một số dương b (với a > 0, a ≠ 1) là số x sao cho a^x = b.

Ký hiệu: logₐb = x ⇔ a^x = b

Ví dụ: log₂8 = 3 vì 2³ = 8

Đồ thị hàm số logarit 

Hình dạng: Đồ thị hàm số y = logₐx có dạng tương tự như đồ thị hàm số mũ, nhưng đối xứng qua đường thẳng y = x.

Tính chất:

• Hàm số y = logₐx đồng biến khi a > 1.
• Hàm số y = logₐx nghịch biến khi 0 < a < 1.
• Đồ thị luôn đi qua điểm (1; 0).

Lý thuyết Hàm số Mũ và Hàm số Logarit

Hàm số mũ

Định nghĩa: Hàm số có dạng y = a^x với a > 0, a ≠ 1 được gọi là hàm số mũ cơ số a.

Tính chất:

• Tập xác định: D = R
• Tập giá trị: T = (0; +∞)
• Đồ thị:

• Luôn đi qua điểm (0;1).
• Khi a > 1: hàm số đồng biến trên R.
• Khi 0 < a < 1: hàm số nghịch biến trên R.

• Đạo hàm: (a^x)' = a^x.lna

Hàm số logarit

Định nghĩa: Hàm số có dạng y = logₐx với a > 0, a ≠ 1, x > 0 được gọi là hàm số logarit cơ số a.

Tính chất:

• Tập xác định: D = (0; +∞)
• Tập giá trị: T = R
• Đồ thị:
  • Luôn đi qua điểm (1;0).
  • Khi a > 1: hàm số đồng biến trên (0; +∞).
  • Khi 0 < a < 1: hàm số nghịch biến trên (0; +∞).

Chương III: Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng 

Nguyên hàm

• Định nghĩa: Nguyên hàm của một hàm số f(x) là một hàm số F(x) sao cho đạo hàm của F(x) bằng f(x), tức là F'(x) = f(x).
• Ký hiệu: ∫f(x)dx = F(x) + C, trong đó C là hằng số.
• Ý nghĩa: Tìm nguyên hàm là tìm lại hàm số ban đầu khi biết đạo hàm của nó.

Tích phân

• Tích phân xác định: Là một số thực biểu thị diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số, trục hoành và hai đường thẳng x = a và x = b.
• Ký hiệu: ∫[a,b] f(x)dx
• Định lý Newton-Leibniz: Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên [a, b] thì ∫[a,b] f(x)dx = F(b) - F(a).

các dạng bài tập toán đại 12

Các dạng bài tập toán đại 12

1. Khảo sát hàm số

• Tìm tập xác định: Xác định những giá trị của x để hàm số có nghĩa.
• Tìm giới hạn: Tìm giới hạn của hàm số tại các điểm đặc biệt (ví dụ: khi x tiến tới dương vô cùng, âm vô cùng, hoặc tại các điểm gián đoạn).
• Tính đạo hàm: Tính đạo hàm cấp 1, cấp 2 của hàm số.
• Khảo sát sự biến thiên: Xét dấu đạo hàm để tìm khoảng đồng biến, nghịch biến.
• Tìm cực trị: Tìm các điểm cực trị của hàm số.
• Tìm tiệm cận: Tìm tiệm cận đứng, tiệm cận ngang.
• Vẽ đồ thị: Vẽ đồ thị hàm số dựa trên các thông tin đã thu thập được.

2. Phương trình, bất phương trình

• Phương trình mũ và logarit: Giải các phương trình, bất phương trình mũ và logarit bằng cách sử dụng các tính chất của lũy thừa và logarit.
• Phương trình lượng giác: Giải các phương trình lượng giác cơ bản và nâng cao.
• Hệ phương trình: Giải các hệ phương trình bằng phương pháp thế, cộng đại số, hoặc sử dụng máy tính.

3. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

• Trên một đoạn: Sử dụng định lý Fermat và so sánh các giá trị tại các điểm cực trị và hai đầu mút của đoạn.
• Trên một khoảng: Xét giới hạn của hàm số tại các điểm biên của khoảng.

4. Ứng dụng của đạo hàm

• Bài toán cực trị: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số.
• Bài toán tiếp tuyến: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm.
• Bài toán liên quan đến tốc độ, gia tốc: Áp dụng đạo hàm để tính tốc độ, gia tốc trong các bài toán vật lý.

5. Nguyên hàm, tích phân

• Tính nguyên hàm: Sử dụng các công thức nguyên hàm cơ bản và các phương pháp tích phân (đổi biến số, tích phân từng phần).
• Tính tích phân: Áp dụng định lý Newton-Leibniz để tính tích phân xác định.
• Ứng dụng của tích phân: Tính diện tích hình phẳng, thể tích khối tròn xoay.

6. Số phức

• Các phép toán với số phức: Cộng, trừ, nhân, chia số phức.
• Biểu diễn số phức: Biểu diễn số phức trên mặt phẳng phức.
• Phương trình bậc hai với hệ số phức: Giải phương trình bậc hai có nghiệm phức.

Cách giải bài tập toán đại số 12 

1. Nắm vững lý thuyết:

• Hiểu rõ định nghĩa, tính chất: Mỗi khái niệm, công thức đều có ý nghĩa riêng. Hãy hiểu rõ chúng để vận dụng linh hoạt vào bài tập.
• Phân loại các dạng bài: Nhận biết được dạng bài để áp dụng phương pháp giải phù hợp.

2. Phương pháp giải bài:

• Đọc kỹ đề bài: Hiểu rõ yêu cầu của bài toán, xác định những gì đã cho và những gì cần tìm.
• Phân tích bài toán: Chia nhỏ bài toán thành các bước nhỏ, đơn giản hơn.
• Lập phương trình, bất phương trình: Dựa vào dữ liệu của bài toán để lập các phương trình, bất phương trình phù hợp.
• Giải phương trình, bất phương trình: Sử dụng các phương pháp đã học để giải các phương trình, bất phương trình.
• Kiểm tra lại kết quả: Sau khi tìm được kết quả, hãy kiểm tra lại xem có hợp lý không.

Bài viết đã tổng hợp chi tiết các kiến thức quan trọng của môn Toán Đại số 12. Tuy nhiên, để thành thạo môn học này, bạn cần phải luyện tập thường xuyên. Hãy kiên trì và đừng ngại hỏi khi gặp khó khăn. Chúc bạn đạt được kết quả cao trong kỳ thi sắp tới!"