Tổng hợp kiến thức toán 12 tích phân chi tiết

Trong bài viết này, BTEC FPT sẽ cung cấp cho bạn cái nhìn tổng quan và chi tiết về các khái niệm cơ bản và ứng dụng của tích phân trong chương trình toán lớp 12. Từ định nghĩa cơ bản, công thức tính tích phân, đến các phương pháp giải tích phân, BTEC FPT sẽ cùng bạn khám phá từng phần của kiến thức này nhé!

Lý thuyết về tích phân

Xét hàm số f(x) xác định và liên tục trên đoạn [a;b]. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn [a;b] thì F(b) – F(a) chính là tích phân từ a đến b của hàm số f(x), hay còn gọi là tích phân được xác định trên đoạn [a;b]. Cụ thể: 

∫(a đến b) f(x)dx =F(b)-F(a)

Trong đó:

• a và b là giới hạn dưới và giới hạn trên của tích phân.
• f(x) là hàm số cần tích phân. 
• dx biểu thị đối với biến hàm số x, tức là khoảng cách trên trục hoành.

Chú ý. Có thể sử dụng phép biến đổi số ở dạng sau:

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b]. Giả sử hàm số u=u(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [a;b] sao cho α ≤ u(x) ≤ β, ∀ x∈ [a;b]. Nếu f(x) =g[u(x)].u’(x) ∀ x∈ [a;b], trong đó g(u) liên tục trên đoạn [α;β] thì: ∫_a^bf(x)dx = ∫_u(a)^u(b)g(u)du

Lý thuyết về tích phân

Những tính chất của tích phân 

• Tích phân tại một giá trị xác định của biến số thì bằng 0: aaf(x)dx=0
• Đảo cận thì đổi dấu: ∫(a đến b) f(x)dx= ∫(-b đến a) f(x)dx
• Hằng số trong tích phân có thể được đưa ra ngoài dấu tích phân:

∫(a đến b) k.f(x)dx = k.∫(a đến b) f(x)dx

• Tích phân một tổng bằng tổng các tích phân

∫(a đến b) [f1(x)土f2(x)土...土fn(x)]dx = ∫(a đến b) f1(x)dx 土 ∫(a đến b) f2(x)dx土...土∫ (a đến b) fn(x)dx

Các phương pháp tích phân thường được sử dụng trong các bài toán 

Phương pháp 1: biến đổi số 

Phương pháp đổi biến số được sử dụng để tính tích phân của các hàm số có dạng phức tạp. Phương pháp này dựa trên việc thay đổi biến số trong tích phân để đưa nó về dạng đơn giản hơn mà có thể sử dụng các công thức tích phân cơ bản.

Phương pháp 2: Tích phân từng phần 

Phương pháp tích phân từng phần được sử dụng để tính tích phân của các hàm số có dạng tích của hai hàm số. Phương pháp này dựa trên việc áp dụng công thức tích phân từng phần để biến đổi tích phân về dạng đơn giản hơn mà có thể sử dụng các công thức tích phân cơ bản.

Phương pháp 3:Phân tích 

 Với phương pháp tích phân từng phần các em có thể sử dụng các đồng nhất các công thức sau đó biến đổi các biểu thức dưới dấu tích phân để trở thành tổng của các hạng tử

Phương pháp 4: Vi phân 

Phương pháp vi phân là một kỹ thuật để tính tích phân của các hàm số có dạng f(x) dx, trong đó f(x) là một hàm số có thể được biểu diễn dưới dạng đạo hàm của một hàm số khác g(x).

Công thức:

∫ f(x) dx = g(x) + C

Các dạng bài tập tích phân

Các dạng bài tập tích phân 

Để cụ thể hơn về phần tích phân này, BTEC FPT sẽ gửi tới bạn những dạng bài tập tích phân thường gặp nhất trong các đề thi THPT Quốc gia để bạn có thể tìm hiểu và học tập 

Dạng 1: Tích phân cơ bản 

Dạng 1.1: Áp dụng tính chất để giải

Dạng 1.2: Áp dụng bảng công thức cơ bản 

Dạng 2: Tích phân hàm hữu tỷ 

Dạng 3: Giải tích phân bằng phương pháp vi phân 

Dạng 4. Giải tích phân bằng phương pháp đổi biến số 

Dạng 4.1 Hàm số tường minh.

+ Dạng 4.1.1 Hàm số chứa căn thức.

+ Dạng 4.1.2 Hàm số chứa hàm lượng giác.

+ Dạng 4.13. Hàm số chứa hàm số mũ, logarit.

+ Dạng 4.1.4 Hàm số hữu tỷ, đa thức.

+ Dạng 4.2 Hàm số không tường minh (hàm ẩn).

Dạng 5. Tích phân TỪNG PHẦN (Trang 22).

+ Dạng 5.1 Hàm số tường minh (Trang 22).

+ Dạng 5.2 Hàm số không tường minh (hàm ẩn).

Dạng 6. Kết hợp nhiều phương pháp để giải toán.

Dạng 7. Tích phân của một số hàm số khác.

+ Dạng 7.1 Tích phân hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối.

+ Dạng 7.2 Tích phân nhiều công thức.

+ Dạng 7.3 Tích phân hàm số chẵn, lẻ.

Dạng 8. Một số bài toán tích phân khác.

Trên đây là tên những nội dung chính trong các bài học tích phân, các bạn có thể tham khảo thêm nhé 

Cách giải các bài tích phân 12

Để giải các bài toán về tích phân 12, chúng ta có thể áp dụng rất nhiều phương pháp khác nhau. Sau đây là một số phương pháp tích phân đơn giản, hay gặp: 

Dạng 1: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến 

Bước 1: Đặt biến thay thế 

1. Chọn biến thay thế: Đặt t=u(x) trong đó u(x) là hàm số của x. Mục tiêu là chọn u(x) sao cho việc tính tích phân dễ dàng hơn.
2. Đổi cận tích phân 

Nếu x=ax, ax=a, thì t=u(a)t = u(a)t=u(a) (gọi là a′a'a′).

Nếu x=bx, bx=b, thì t=u(b)t = u(b)t=u(b) (gọi là b′b'b′).

Bước 2: Tính vi phân của t: dt= u'(x)dx  trong đó, u'(x) là đạo hàm của u(x) theo x

Bước 3: Biến đổi f(x) dx thành g(t) dt

Bước 4: Tính tích phân ∫_a^bf(x)dx = ∫_a'^b'g(t)dt

Dạng 2:  Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến x=u(t) 

Bước 1: Đặt x=u(t), đổi cận x =a => t = a', x=b => t = b' 

Bước 2: Lấy vi phân 2 vế dx=u’(t)dt 

Bước 3: Biến đổi f(x) dx=f(u(t))*u'(t)dt = g(t)dt

Bước 4: Tính nguyên phân hàm theo công thức ∫_a^bf(x)dx = ∫_a'^b'g(t)dt

Qua bài viết này, BTEC FPT đã cung cấp một cái nhìn tổng quan và chi tiết về kiến thức tích phân trong chương trình toán lớp 12, từ các công thức cơ bản đến các phương pháp giải bài tập hiệu quả. Việc nắm vững các lý thuyết về nguyên hàm, tích phân và ứng dụng của chúng là rất quan trọng không chỉ trong học tập mà còn trong việc giải quyết các bài toán thực tiễn. Nếu bạn thấy bài viết này hữu ích, hãy chia sẻ với bạn bè và đồng nghiệp của bạn. Cảm ơn bạn đã đọc và hẹn gặp lại trong các bài viết tiếp theo!