Tổng hợp kiến thức toán 12 logarit chi tiết

Trong toán học, Logarit là phép toán nghịch đảo của lũy thừa. Điều đó có nghĩa logarit của một số là số mũ của một giá trị cố định, gọi là cơ số, phải được nâng lên lũy thừa để tạo ra con số đó. Trong bài học hôm nay, BTEC FPT sẽ giới thiệu đến các bạn học sinh lớp 12 tổng hợp các kiến thức về logarit. Nhằm giúp các bạnhọc sinh nhanh chóng nắm rõ được kiến thức để giải nhanh các bài tập Toán 12.

Lý thuyết về hàm số mũ và Logarit 

Hàm số mũ 

Định nghĩa: 

Hàm số mũ cơ bản: Phương trình có dạng: a^x=b (với a > 0, a ≠ 1)

Hàm số  mũ tổng quát: Là phương trình có chứa ẩn ở số mũ.

Tính chất của hàm số mũ: y = a^x (a>0, a ≠ 1) 

- Tập xác định: R (tức là hàm số xác định với mọi giá trị thực của x).

Tập giá trị: T = (0; +∞) (tức là giá trị của hàm số luôn dương).

- Chiều biến thiên: 

+ Nếu a > 1 thì hàm số đồng biến 

+ Nếu 0 < a < 1 thì hàm số luôn nghịch biến 

Tiệm cận: trục Ox là tiệm cận ngang 

- Đồ thị nằm hoàn toàn về phía trên trục hoành ( y = a^x >0 ∀ x) và luôn cắt trục tung tại điểm (0,1) và đi qua điểm (1,a)   

Đồ thị:

• Khi a > 1: Hàm số đồng biến trên R. Đồ thị hàm số đi qua điểm (0;1) và nằm phía trên trục hoành.
• Khi 0 < a < 1: Hàm số nghịch biến trên R. Đồ thị hàm số đi qua điểm (0;1) và nằm phía trên trục hoành.

Tính chất đặc trưng:

• a^x . a^y = a^(x+y)
• (a^x)^y = a^(xy)
• (a.b)^x = a^x . b^x
• (a/b)^x = a^x / b^x (với b ≠ 0)

Đạo hàm của hàm số mũ

Đạo hàm của hàm số y = a^x là:

y' = a^x . ln(a)

Ứng dụng của hàm số mũ

• Mô hình tăng trưởng: Mô tả sự tăng trưởng của dân số, lãi kép, sự phân rã phóng xạ.
• Vật lý: Mô tả các hiện tượng vật lý như sự phân rã phóng xạ, sự tăng trưởng của các quần thể sinh vật.
• Kinh tế: Mô hình hóa các quá trình kinh tế như lãi kép, giảm giá.

Ví dụ

• Hàm số y = 2^x: Là một hàm số mũ đồng biến.
• Hàm số y = (1/2)^x: Là một hàm số mũ nghịch biến.

Lý thuyết về hàm số mũ và hàm số logarit

Hàm số logarit 

Định nghĩa: Hàm số logarit là hàm số nghịch đảo của hàm số mũ. Cụ thể, nếu y = a^x (với a > 0, a ≠ 1) thì x = log_a y.

Hàm số logarit cơ số a của x được ký hiệu là log_a x và được đọc là "logarit cơ số a của x".

Điều kiện: 

Cơ số a phải là số dương và khác 1: a > 0, a ≠ 1.

Lũy thừa a^x phải dương: a^x > 0. Điều này có nghĩa là x có thể nhận mọi giá trị thực.

Công thức: y = log_a x ⇔ a^y = x

Tính chất của hàm số logarit 

- Tập xác định: D = (0; +∞) (tức là x > 0).

- Tập giá trị: T = R (tức là y có thể nhận mọi giá trị thực).

- Đồ thị: Đồ thị của hàm số logarit là một đường cong, gọi là đường cong logarit.

• Khi a > 1: Hàm số đồng biến trên (0; +∞).
• Khi 0 < a < 1: Hàm số nghịch biến trên (0; +∞).

Tính chất đặc trưng:

• log_a (x.y) = log_a x + log_a y
• log_a (x/y) = log_a x - log_a y
• log_a (x^n) = n.log_a x
• log_a b = 1 / log_b a

Đạo hàm của hàm số logarit

Đạo hàm của hàm số y = log_a x là:

y' = 1 / (x.ln(a))

Ứng dụng của hàm số logarit

• Mô hình giảm dần: Mô tả sự giảm dần của các đại lượng như độ phóng xạ, độ giảm giá của tài sản.
• Thang đo: Sử dụng trong các thang đo như độ pH, độ lớn âm thanh.
• Giải phương trình: Giải các phương trình mũ và logarit.

Ví dụ

• Hàm số y = log_2 x: Là một hàm số logarit đồng biến.
• Hàm số y = log_(1/2) x: Là một hàm số logarit nghịch biến.

các dạng bài tập về hàm số mũ và hàm số logarit

Các dạng bài tập về hàm số mũ và hàm số logarit 

1. Hàm số mũ 

Dạng 1: Tìm hàm số có đồ thị cho trước và ngược lại.

Phương pháp:

- Bước 1: Quan sát dáng đồ thị, tính đơn điệu,…của các đồ thị bài cho.

- Bước 2: Đối chiếu với hàm số bài cho và chọn kết luận.

Dạng 2: Tìm mối quan hệ giữa các cơ số khi biết đồ thị.

Phương pháp:

- Bước 1: Quan sát các đồ thị, nhận xét về tính đơn điệu để nhận xét các cơ số.

+ Hàm số đồng biến thì cơ số lớn hơn 1

+ Hàm số nghịch biến thì cơ số lớn hơn 0 và nhỏ hơn 1

- Bước 2: So sánh các cơ số dựa vào phần đồ thị của hàm số.

- Bước 3: Kết hợp các điều kiện ở trên ta được mối quan hệ cần tìm.

Dạng 3: Giải phương trình và bất phương trình mũ, logarit

Phương trình mũ cơ bản: Đưa về cùng cơ số hoặc logarit hóa hai vế.

Phương trình mũ tổng quát: Đặt ẩn phụ, sử dụng các công thức biến đổi.

Bất phương trình mũ: Đưa về dạng tích, thương hoặc sử dụng tính đơn điệu của hàm số mũ.

Dạng 4: Bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một đoạn: Sử dụng bảng biến thiên hoặc đạo hàm.

Tìm GTLN, GTNN của biểu thức: Đưa biểu thức về dạng hàm số mũ hoặc logarit rồi áp dụng các kỹ thuật tìm GTLN, GTNN.

Hy vọng bài viết "Tổng hợp kiến thức toán 12 logarit chi tiết" đã mang đến cho bạn những kiến thức cơ bản và thiết yếu về logarit, giúp bạn nắm vững lý thuyết và các công thức quan trọng. Những dạng bài tập đa dạng cũng như ứng dụng thực tiễn của logarit không chỉ hỗ trợ bạn trong việc học tập mà còn chuẩn bị cho kỳ thi tốt nghiệp THPT sắp tới. Chúc các bạn ôn tập thật hiệu quả và đạt điểm cao trong kì thi sắp tới nhé!