Tổng hợp kiến thức toán 12 giải tích chi tiết

Tiếp nối những chương trình đã học ở lớp dưới, ta đến với một chương quan trọng hơn, đó là giải tích 12.  Giải tích giúp chúng ta nghiên cứu sâu hơn về tính chất của hàm số, từ đó giải quyết được nhiều bài toán phức tạp hơn. Bài viết này BTEC FPT sẽ giúp các bạn hiểu rõ hơn về mối liên hệ giữa các khái niệm trong giải tích và cách áp dụng chúng để giải quyết các bài toán.

Lý thuyết về giải tích

Phần giải tích trong toán học 12 vô cùng quan trọng nhất trong chương trình THPT, cung cấp cho các bạn  những kiến thức nền tảng về hàm số, giúp bạn hiểu sâu hơn về sự biến thiên của các đại lượng trong cuộc sống.

1. Hàm số và đồ thị hàm số 

Hàm số: Khái niệm, các loại hàm số (hàm số bậc nhất, bậc hai, hàm số lượng giác, hàm số mũ, hàm số logarit).

Đồ thị: Cách vẽ đồ thị, tính chất của đồ thị, các điểm đặc biệt như giao điểm với trục tọa độ.

2. Tính liên tục và đạo hàm 

Liên tục: Định nghĩa hàm số liên tục tại một điểm và trên một khoảng. Điều kiện để hàm liên tục.

Đạo hàm: Khái niệm, công thức đạo hàm của một số hàm cơ bản. Quy tắc đạo hàm (quy tắc cộng, nhân, chia, chuỗi).

Ứng dụng của đạo hàm: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, và các bài toán liên quan đến sự thay đổi của hàm số.

3. Tích phân 

Định nghĩa: Tích phân không xác định và tích phân xác định.

Cách tính: Công thức tính tích phân cơ bản, các phương pháp tích phân như phần từng, đổi biến.

Ứng dụng: Tính diện tích dưới đồ thị, tính thể tích hình khối.

4. Hàm số lượng giác 

Khái niệm: Định nghĩa các hàm sin, cos, tan, cùng với các công thức lượng giác cơ bản.

Đồ thị và Tính chất: Đặc điểm của đồ thị hàm lượng giác, tính chu kỳ và tính đối xứng.

5. Giới hạn và đạo hàm  

Giới hạn: Khái niệm, cách tính giới hạn của hàm số.

Cách xác định: Giới hạn một bên, giới hạn tại vô cực.

6. Phương trình và bất phương trình 

Phương trình bậc hai: Công thức nghiệm, tính chất của nghiệm.

Bất phương trình: Phương pháp giải bất phương trình, bất phương trình chứa tham số.

7. Ứng dụng của giải tích 

Giải quyết các bài toán thực tế: Các bài toán tối ưu hóa, bài toán liên quan đến vận tốc, gia tốc trong vật lý.

Lý thuyết về giải tích

Các dạng bài tập giải tích

Dưới đây là những dạng bài tập thường gặp trong giải tích lớp 12 

1. Bài Tập Về Hàm Số

• Vẽ đồ thị hàm số: Tìm tọa độ các điểm đặc biệt, xác định tính chất đồ thị (tính chẵn, lẻ, khoảng tăng, giảm).
• Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất: Sử dụng đạo hàm để xác định cực trị của hàm số trên một khoảng.

2. Bài Tập Đạo Hàm

• Tính đạo hàm: Sử dụng các quy tắc đạo hàm cơ bản (tích, thương, chuỗi).
• Ứng dụng của đạo hàm: Giải bài toán về tốc độ thay đổi, điểm uốn, và bài toán tối ưu.

3. Bài Tập Tích Phân

• Tính tích phân không xác định: Áp dụng công thức tích phân cơ bản và các phương pháp như đổi biến, tích phân từng phần.
• Tính tích phân xác định: Tính diện tích dưới đồ thị hàm số trên một khoảng.

4. Bài Tập Giới Hạn

• Tính giới hạn của hàm số: Xác định giới hạn tại một điểm, giới hạn tại vô cực, và sử dụng quy tắc L'Hospital nếu cần.
• Giới hạn phức tạp: Giới hạn của các hàm số lượng giác, mũ và logarit.

5. Bài Tập Hàm Số Lượng Giác

• Giải phương trình lượng giác: Sử dụng các công thức lượng giác để giải phương trình.
• Tìm giá trị của hàm số lượng giác: Áp dụng kiến thức về tính chất của hàm sin, cos, tan.

6. Bài Tập Phương Trình và Bất Phương Trình

• Giải phương trình bậc hai: Sử dụng công thức nghiệm và phân tích đa thức.
• Giải bất phương trình: Phân tích dấu, tìm tập nghiệm và vẽ đồ thị.

7. Bài Tập Ứng Dụng Thực Tế

• Bài toán tối ưu hóa: Áp dụng kiến thức để giải các bài toán trong thực tế như tối đa hóa lợi nhuận, tối thiểu hóa chi phí.
• Tính diện tích, thể tích: Sử dụng tích phân để tính diện tích vùng kín, thể tích khối.

Các dạng bài tập giải tích

Cách giải các bài giải tích 

1. Các dạng toán về sự đồng biến và nghịch biến của hàm số 

Phương pháp: 

- Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số 

- Bước 2: Tính đạo hàm f’(x), tìm các điểm x1,x2,...xn mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.

- Bước 3: Xét dấu đạo hàm và nêu kết luận về khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

+ Các khoảng mà f’(x) > 0 là các khoảng đồng biến của hàm số 

+ Các khoảng mà f’(x) <0 là các khoảng nghịch biến của hàm số.

2. Tìm điều kiện của tham số để hàm số bậc ba có điểm cực trị 

Phương pháp: 

- Bước 1: Tính y’

 - Bước 2: Nêu điều kiện để hàm số bậc ba có điểm cực trị:

+ Hàm số có điểm cực trị ⇔ y’= 0 có 2 nghiệm phân biệt ⇔ Δ > 0 

+  Hàm số không có điểm cực trị  ⇔ y’= 0 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép  Δ ≤ 0 

- Bước 3: Kết luận 

3. Tìm điều kiện của tham số để hàm số bậc bốn trùng phương có điểm cực trị

Phương pháp: 

- Bước 1: Tính y’

- Bước 2: Nêu điều kiện để hàm số có điểm cực trị:

+ Hàm số 1 có điểm cực trị nếu phương trình y’= 0 có nghiệm duy nhất 

+ Hàm số 3 điểm cực trị nếu phương trình y’= 0 có 3 nghiệm phân biệt 

- Bước 3: Kết luận 

4. Tìm hàm số có đồ thị cho trước: 

Phương pháp

- Bước 1: Nhận dạng đồ thị: đồ thị thuộc dạng bậc 3 hay bậc 4 hệ số a dương hay âm 

- Bước 2: Tìm điểm giao của đồ thị hàm số với Oy và thay tọa độ và các hàm số ở từng đáp án. 

- Bước 3: Tìm các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho.

- Bước 4: Tính đạo hàm các hàm số ở mỗi đáp án và giải phương trình y’ = 0 tìm điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số ở các đáp án.

- Bước 5: Giải phương trình y=0 ở các đáp án và tìm nghiệm, đối chiếu với hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số đã cho với trục hoành. 

Để ôn tập kỹ lưỡng hơn BTEC FPT muốn gửi tới bạn một số chuyên đề ôn tập giải tích 12 

Đề số 1 - chuyên đề giải tích 

Đề số 2 - chuyên đề giải tích 

Đề số 3 - chuyên đề giải tích 

Trên đây là tổng hợp kiến thức giải tích lớp 12 một cách chi tiết và hệ thống, từ các khái niệm cơ bản đến những ứng dụng thực tiễn. Việc nắm vững những kiến thức này không chỉ giúp bạn tự tin hơn trong kỳ thi THPT Quốc gia mà còn tạo nền tảng vững chắc cho những môn học cao hơn. Hãy dành thời gian ôn tập và thực hành thường xuyên để ghi nhớ và vận dụng linh hoạt các kỹ năng đã học. Chúc các bạn học tốt và đạt kết quả cao trong học tập!